$$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$$ ifadesinin eşlenik ile sadeleştirilmiş hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) $$\sqrt{6}-\sqrt{5}$$Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, paydasında köklü ifadeler bulunan bir kesri eşlenik yardımıyla sadeleştirmemiz isteniyor. Paydadaki köklü ifadeyi rasyonel hale getirmek için eşlenik çarpımı yöntemini kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:
1. Adım: Eşlenik İfadeyi Belirleme
Verilen ifade $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ şeklindedir. Paydadaki ifade $\sqrt{2}+\sqrt{3}$'tür. Bu ifadenin eşleniği, aradaki işaretin tersi olan $\sqrt{2}-\sqrt{3}$'tür. Eşlenik ile çarpma işlemi, $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ özdeşliğinden faydalanarak kökleri ortadan kaldırmamızı sağlar.
2. Adım: Kesri Eşlenik ile Çarpma
Kesrin payını ve paydasını paydanın eşleniği olan $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ ile çarpalım:
$$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$$
3. Adım: Paydayı Sadeleştirme
Paydadaki çarpma işlemini $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ özdeşliğini kullanarak yapalım:
$$(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2$$
$$= 2 - 3$$
$$= -1$$
4. Adım: Payı Sadeleştirme
Paydaki çarpma işlemini dağılma özelliğini kullanarak yapalım:
$$\sqrt{6}(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = \sqrt{6} \times \sqrt{2} - \sqrt{6} \times \sqrt{3}$$
$$= \sqrt{12} - \sqrt{18}$$
5. Adım: İfadeyi Birleştirme ve Sadeleştirme
Şimdi bulduğumuz pay ve paydayı birleştirelim:
$$\frac{\sqrt{12} - \sqrt{18}}{-1}$$
Paydadaki $-1$ işaretini paydaki terimlere dağıtalım:
$$= -(\sqrt{12} - \sqrt{18})$$
$$= -\sqrt{12} + \sqrt{18}$$
$$= \sqrt{18} - \sqrt{12}$$
6. Adım: Köklü İfadeleri En Basit Haline Getirme
Şimdi $\sqrt{18}$ ve $\sqrt{12}$ ifadelerini en sade hallerine getirelim:
$$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$
$$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$
7. Adım: Sonucu Yazma
Bulduğumuz sadeleşmiş köklü ifadeleri yerine yazalım:
$$\sqrt{18} - \sqrt{12} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$$
Bu sonuç, seçenekler arasında C seçeneğinde bulunmaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
