Eşlenik ile çarpma (Köklü belirsizlikler) Test 1

9. \( \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} \) işleminin sonucu kaçtır?

A) \( \sqrt{4}-1 \)
B) \( \sqrt{3}-1 \)
C) \( \sqrt{2}-1 \)
D) \( 2-\sqrt{3} \)

Bu tür sorularda, paydalarda köklü ifadeler bulunduğunda genellikle paydayı rasyonel yapmak (köklü ifadeyi ortadan kaldırmak) için eşlenik ile çarpma yöntemini kullanırız. Bir ifadenin eşleniği, $a+\sqrt{b}$ ise $a-\sqrt{b}$ veya $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ise $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ şeklindedir. Bu sayede $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ özdeşliğinden faydalanarak kökleri kare alma işlemiyle yok edebiliriz.

• Her bir terimi ayrı ayrı inceleyelim ve paydalarını rasyonel yapalım:
• Birinci terim: $ \frac{1}{1+\sqrt{2}} $

  Bu terimin paydasını rasyonel yapmak için eşleniği olan $1-\sqrt{2}$ ile hem payı hem de paydayı çarpalım:

  $ \frac{1}{1+\sqrt{2}} \times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{2}}{(1)^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1-\sqrt{2}}{-1} $

  Paydadaki $-1$ ifadesini paya dağıtırsak:

  $ -(1-\sqrt{2}) = -1+\sqrt{2} = \sqrt{2}-1 $
• İkinci terim: $ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} $

  Bu terimin paydasını rasyonel yapmak için eşleniği olan $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ ile hem payı hem de paydayı çarpalım:

  $ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1} $

  Paydadaki $-1$ ifadesini paya dağıtırsak:

  $ -(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = -\sqrt{2}+\sqrt{3} = \sqrt{3}-\sqrt{2} $
• Üçüncü terim: $ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} $

  Bu terimin paydasını rasyonel yapmak için eşleniği olan $\sqrt{3}-\sqrt{4}$ ile hem payı hem de paydayı çarpalım:

  $ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{4})^2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1} $

  Paydadaki $-1$ ifadesini paya dağıtırsak:

  $ -(\sqrt{3}-\sqrt{4}) = -\sqrt{3}+\sqrt{4} = \sqrt{4}-\sqrt{3} $
• Şimdi bulduğumuz bu sadeleşmiş terimleri toplayalım:

  İlk terim: $ \sqrt{2}-1 $

  İkinci terim: $ \sqrt{3}-\sqrt{2} $

  Üçüncü terim: $ \sqrt{4}-\sqrt{3} $

  Toplam: $ (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) $

  Parantezleri açtığımızda, birbirini götüren (sadeleşen) terimleri göreceğiz:

  $ \sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3} $

  Burada $ \sqrt{2} $ ile $ -\sqrt{2} $ birbirini götürür.

  Aynı şekilde $ \sqrt{3} $ ile $ -\sqrt{3} $ birbirini götürür.

  Geriye kalan terimler:

  $ -1+\sqrt{4} $

  Bu ifadeyi $ \sqrt{4}-1 $ şeklinde yazabiliriz.

  Seçeneklere baktığımızda, bu sonuç A seçeneğinde verilmiştir.

Cevap A seçeneğidir.