Sıfır polinomu nedir Test 2

P(x) = (k²-4)x³ + (m-2)x² + (n+1)x + t polinomu sıfır polinomu olduğuna göre k+m+n+t toplamının alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

A) -12
B) -6
C) 0
D) 6

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir polinomun "sıfır polinomu" olması durumunu inceleyeceğiz. Bir polinomun sıfır polinomu olması ne anlama gelir ve bu bilgiyle nasıl işlem yaparız, adım adım görelim.

• 1. Adım: Sıfır Polinomu Tanımını Anlayalım

  Bir $P(x)$ polinomunun sıfır polinomu olması demek, $P(x)$'in her $x$ değeri için $0$ olması demektir. Bu durum ancak ve ancak polinomdaki tüm terimlerin katsayıları sıfıra eşit olduğunda mümkündür.

  Verilen polinom $P(x) = (k^2-4)x^3 + (m-2)x^2 + (n+1)x + t$ olduğuna göre, bu polinomun sıfır polinomu olması için tüm katsayılarının sıfır olması gerekir.

• 2. Adım: Katsayıları Sıfıra Eşitleyelim

  Polinomdaki her bir terimin katsayısını sıfıra eşitleyelim:

  • $x^3$ teriminin katsayısı: $k^2-4 = 0$
  • $x^2$ teriminin katsayısı: $m-2 = 0$
  • $x$ teriminin katsayısı: $n+1 = 0$
  • Sabit terim: $t = 0$
• 3. Adım: k, m, n ve t Değerlerini Bulalım

  Şimdi bu denklemleri çözerek $k, m, n$ ve $t$ değerlerini bulalım:

  • $k^2-4 = 0 \implies k^2 = 4 \implies k = 2$ veya $k = -2$. Gördüğümüz gibi, $k$ için iki farklı değer bulduk.
  • $m-2 = 0 \implies m = 2$.
  • $n+1 = 0 \implies n = -1$.
  • $t = 0$.
• 4. Adım: $k+m+n+t$ Toplamının Alabileceği Değerleri Bulalım

  $k$ için iki farklı değer bulduğumuzdan, $k+m+n+t$ toplamı da iki farklı değer alabilir. Diğer değişkenlerin değerleri sabittir ($m=2, n=-1, t=0$).

  • Durum 1: $k=2$ iken

    $k+m+n+t = 2 + 2 + (-1) + 0 = 4 - 1 = 3$.

  • Durum 2: $k=-2$ iken

    $k+m+n+t = -2 + 2 + (-1) + 0 = 0 - 1 = -1$.

  Yani, $k+m+n+t$ toplamının alabileceği değerler $3$ ve $-1$'dir.

• 5. Adım: Alınan Değerlerin Çarpımını Bulalım

  Son olarak, $k+m+n+t$ toplamının alabileceği bu iki değeri çarpalım:

  Çarpım $= 3 \times (-1) = -3$.

Yukarıdaki adımları takip ettiğimizde, $k+m+n+t$ toplamının alabileceği değerler çarpımını $-3$ olarak buluruz.

Cevap A seçeneğidir.