Merhaba sevgili öğrenciler!
Kareköklü ifadeler matematikte sıkça karşımıza çıkan önemli konulardan biridir. Bugün, kareköklerin temel özelliklerinden biri olan $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ eşitliğinin hangi koşullar altında geçerli olduğunu adım adım inceleyeceğiz.
- Kareköklü İfadelerin Tanımı: Gerçek sayılar kümesinde, bir sayının karekökünün tanımlı olabilmesi için kök içindeki sayının sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekir. Yani, $\sqrt{x}$ ifadesinin tanımlı olabilmesi için $x \ge 0$ olmalıdır. Aksi takdirde, ifade gerçek sayılarda tanımlı değildir.
- Eşitliğin Sol Tarafı: $\sqrt{a \cdot b}$ ifadesinin gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için $a \cdot b \ge 0$ olmalıdır. Bu, $a$ ve $b$ sayılarının aynı işaretli olduğu (ikisi de pozitif veya ikisi de negatif) ya da en az birinin sıfır olduğu anlamına gelir.
- Eşitliğin Sağ Tarafı: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ifadesinin gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için hem $\sqrt{a}$ hem de $\sqrt{b}$ ifadelerinin ayrı ayrı tanımlı olması gerekir. Bu da $a \ge 0$ ve $b \ge 0$ koşulunu gerektirir.
- Koşulların Birleştirilmesi: Eşitliğin her iki tarafının da gerçek sayılarda tanımlı olması ve eşitliğin sağlanması için, yukarıdaki her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerekir. Yani, $a \cdot b \ge 0$ ve ($a \ge 0$ ve $b \ge 0$) olmalıdır. Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, en genel ve doğru koşulun $a \ge 0$ ve $b \ge 0$ olduğunu görürüz.
Şimdi seçenekleri bu bilgiler ışığında değerlendirelim:
- A) a ve b pozitif: Eğer $a > 0$ ve $b > 0$ ise, bu durumda hem $a \cdot b > 0$ olacağından $\sqrt{a \cdot b}$ tanımlıdır, hem de $a > 0$ ve $b > 0$ olduğundan $\sqrt{a}$ ve $\sqrt{b}$ ayrı ayrı tanımlıdır. Bu koşulda özellik kesinlikle geçerlidir. Örneğin, $a=4, b=9$ için $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$ ve $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$. Eşitlik sağlanır.
- B) a ve b negatif: Eğer $a < 0$ ve $b < 0$ ise, bu durumda $a \cdot b > 0$ olacağından $\sqrt{a \cdot b}$ ifadesi tanımlıdır (örneğin, $a=-4, b=-9$ için $\sqrt{(-4) \cdot (-9)} = \sqrt{36} = 6$). Ancak, $\sqrt{a}$ ve $\sqrt{b}$ ifadeleri gerçek sayılarda tanımlı değildir (örneğin, $\sqrt{-4}$ bir gerçek sayı değildir). Bu nedenle, bu koşulda özellik gerçek sayılarda geçerli değildir. Hatta karmaşık sayılarla çalışırken bile, $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} = (2i) \cdot (3i) = 6i^2 = -6$ iken $\sqrt{(-4) \cdot (-9)} = \sqrt{36} = 6$ olduğundan, eşitlik sağlanmaz.
- C) a ve b tam sayı: Tam sayılar hem pozitif hem de negatif olabilir. Eğer $a$ veya $b$'den biri negatif, diğeri pozitif olursa (örneğin $a=-4, b=9$), $a \cdot b = -36$ olacağından $\sqrt{a \cdot b}$ gerçek sayılarda tanımlı olmaz. Ayrıca, ikisi de negatif olursa B seçeneğindeki durum geçerli olur. Bu nedenle bu koşul yeterli değildir.
- D) a ve b rasyonel: Rasyonel sayılar da hem pozitif hem de negatif olabilir. C seçeneğindeki mantık burada da geçerlidir. Örneğin $a = -1/2, b = 1/3$ için $\sqrt{(-1/2) \cdot (1/3)} = \sqrt{-1/6}$ gerçek sayılarda tanımlı değildir. Bu nedenle bu koşul da yeterli değildir.
Sonuç olarak, $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ özelliğinin gerçek sayılarda geçerli olabilmesi için hem $a$ hem de $b$'nin pozitif (veya sıfır) olması gerekir. Seçenekler arasında bu durumu en iyi ifade eden A seçeneğidir.
Cevap A seçeneğidir.
