Çevresi sabit olan bir dikdörtgenin alanı ne zaman maksimum olur?
A) Kenar uzunlukları eşit olduğunda B) Uzun kenar kısa kenarın iki katı olduğunda C) Kısa kenar uzun kenarın yarısı olduğunda D) Kenar uzunlukları farklı olduğunda
Bir dikdörtgenin çevresi sabit olduğunda, kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi ve alanın nasıl değiştiğini inceleyelim.
Öncelikle, dikdörtgenin kenar uzunluklarını $x$ ve $y$ olarak adlandıralım.
Dikdörtgenin çevresi $P$ olsun. Çevre formülü $P = 2x + 2y$ şeklindedir. Soruda çevrenin sabit olduğu belirtildiği için, $P$ bir sabit sayıdır.
Çevre formülünden bir kenarı diğer cinsinden ifade edebiliriz: $2x + 2y = P \implies x + y = \frac{P}{2}$. Buradan $y = \frac{P}{2} - x$ elde ederiz.
Şimdi dikdörtgenin alanına bakalım. Alan formülü $A = x \cdot y$ şeklindedir.
$y$ yerine $\frac{P}{2} - x$ ifadesini koyarak alanı sadece $x$ değişkenine bağlı bir fonksiyon olarak yazabiliriz: $A(x) = x \left( \frac{P}{2} - x \right)$.
Bu ifadeyi düzenlersek: $A(x) = \frac{P}{2}x - x^2$.
Bu, $x$ değişkenine bağlı ikinci dereceden bir fonksiyondur ($A(x) = -x^2 + \frac{P}{2}x$). Bu tür fonksiyonların grafiği bir paraboldür ve $x^2$ teriminin katsayısı negatif olduğu için parabol aşağı doğru açılır. Bu da fonksiyonun bir maksimum değere sahip olduğu anlamına gelir.
Bir parabolün maksimum değeri, tepe noktasında gerçekleşir. Tepe noktasının $x$ koordinatı, $ax^2 + bx + c$ şeklindeki bir denklem için $x = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur. Bizim denklemimizde $a = -1$ ve $b = \frac{P}{2}$'dir.
Bu formülü kullanarak $x$ değerini bulalım: $x = -\frac{\frac{P}{2}}{2(-1)} = -\frac{\frac{P}{2}}{-2} = \frac{P}{4}$.
Yani, alanın maksimum olması için bir kenar uzunluğu $x = \frac{P}{4}$ olmalıdır.
Şimdi diğer kenar uzunluğu olan $y$'yi bulalım: $y = \frac{P}{2} - x = \frac{P}{2} - \frac{P}{4} = \frac{P}{4}$.
Gördüğümüz gibi, alanın maksimum olduğu durumda $x = \frac{P}{4}$ ve $y = \frac{P}{4}$'tür. Bu da $x = y$ olduğu anlamına gelir.
Kenar uzunlukları eşit olan bir dikdörtgen, bir karedir. Dolayısıyla, çevresi sabit olan bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunlukları eşit olduğunda (yani bir kare olduğunda) maksimum olur.
