Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, çevresi belirli olan bir dikdörtgenin alanının en fazla kaç olabileceğini bulacağız. Bir dikdörtgenin alanının en büyük değere ulaşması için kenarlarının nasıl olması gerektiğini hatırlayarak bu soruyu kolayca çözebiliriz.
- 1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Formülleri Hatırlayalım
- Bize verilen bilgi: Dikdörtgenin çevresi $28$ cm.
- Bir dikdörtgenin iki kenarı vardır: uzun kenar ($a$) ve kısa kenar ($b$).
- Dikdörtgenin çevresi şu formülle bulunur: $Çevre = 2 \times (a + b)$.
- Dikdörtgenin alanı ise şu formülle bulunur: $Alan = a \times b$.
- 2. Adım: Çevre Bilgisini Kullanarak Kenarlar Arasındaki İlişkiyi Bulalım
- Çevre formülünü kullanarak kenarların toplamını bulalım:
- $2 \times (a + b) = 28$ cm
- Her iki tarafı $2$'ye bölersek:
- $a + b = \frac{28}{2}$
- $a + b = 14$ cm
- Bu, dikdörtgenin uzun ve kısa kenarlarının toplamının $14$ cm olduğu anlamına gelir.
- 3. Adım: Alanı En Büyük Yapacak Kenar Uzunluklarını Belirleyelim
- Şimdi amacımız, $a+b=14$ koşulunu sağlayan $a$ ve $b$ değerleri için $Alan = a \times b$ ifadesini en büyük yapmaktır.
- Matematikte önemli bir kural vardır: Toplamları sabit olan iki sayının çarpımının en büyük değeri alması için, bu sayıların birbirine olabildiğince yakın olması gerekir. Eğer sayılar eşitse, çarpımları en büyük olur.
- Dikdörtgen için bu kural, alanın en büyük olması için kenar uzunluklarının birbirine eşit olması gerektiği anlamına gelir. Yani, dikdörtgenin bir kare olması gerekir.
- 4. Adım: Kenar Uzunluklarını Hesaplayalım
- Kenarların eşit olması gerektiğini bulduk, yani $a = b$.
- $a + b = 14$ denkleminde $b$ yerine $a$ yazarsak:
- $a + a = 14$
- $2a = 14$
- $a = \frac{14}{2}$
- $a = 7$ cm
- Dolayısıyla, $b$ de $7$ cm olur. Yani, dikdörtgenin kenarları $7$ cm ve $7$ cm'dir. Bu bir karedir!
- 5. Adım: Maksimum Alanı Hesaplayalım
- Kenar uzunluklarını bulduğumuza göre, alanı hesaplayabiliriz:
- $Alan = a \times b$
- $Alan = 7 \times 7$
- $Alan = 49$ cm²
Bu durumda, çevresi $28$ cm olan bir dikdörtgenin alanı en fazla $49$ cm² olabilir. Bu da kenarları $7$ cm olan bir kare olduğunda gerçekleşir.
Cevap D seçeneğidir.
