Çevresi 50 cm olan bir dikdörtgenin alanı en fazla kaç cm² olabilir?
Bu soruda, çevresi belirli olan bir dikdörtgenin alanının en fazla kaç olabileceğini bulacağız. Bir dikdörtgenin alanının en büyük değeri alması için hangi şekle yaklaşması gerektiğini hatırlayarak işe başlayalım.
Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olsun. Çevresi $P = 2(a + b)$ formülü ile bulunur.
Soruda çevrenin 50 cm olduğu belirtilmiş. Bu bilgiyi formülde yerine yazalım:
$2(a + b) = 50 \text{ cm}$
Her iki tarafı 2'ye bölersek:
$a + b = 25 \text{ cm}$
Bu, dikdörtgenin iki farklı kenarının toplamının 25 cm olması gerektiği anlamına gelir.
Bir dikdörtgenin alanı $A = a \times b$ formülü ile bulunur. Biz bu alanı en büyük yapmak istiyoruz.
Matematikte, belirli bir toplamı olan iki pozitif sayının çarpımının en büyük değeri alması için bu sayıların birbirine en yakın olması gerekir. Hatta bu sayılar birbirine eşit olduğunda çarpım en büyük değerini alır.
Bizim durumumuzda, $a + b = 25$ ve biz $a \times b$ çarpımını en büyük yapmak istiyoruz. Bu durumda $a$ ve $b$ birbirine eşit olmalıdır.
$a = b$ ise, $a + a = 25 \implies 2a = 25 \implies a = 12.5 \text{ cm}$ olur.
Dolayısıyla, $a = 12.5 \text{ cm}$ ve $b = 12.5 \text{ cm}$ olmalıdır. Bu durumda dikdörtgen aslında bir karedir.
Şimdi bulduğumuz kenar uzunluklarını alan formülünde yerine yazalım:
$A = a \times b = 12.5 \text{ cm} \times 12.5 \text{ cm}$
$A = 156.25 \text{ cm}^2$
Bu durumda, çevresi 50 cm olan bir dikdörtgenin alanı en fazla 156.25 cm² olabilir.
Cevap C seçeneğidir.
