Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, çarpım kuralını kullanarak bir fonksiyonun türevini nasıl alacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = x \cdot \cos(x)$.
- Adım 1: Fonksiyonu Çarpım Halindeki İki Parçaya Ayırma
- Verilen $f(x) = x \cdot \cos(x)$ fonksiyonu, iki farklı fonksiyonun çarpımı şeklindedir. Bu iki fonksiyonu $u(x)$ ve $v(x)$ olarak tanımlayalım:
- $u(x) = x$
- $v(x) = \cos(x)$
- Adım 2: Her Bir Parçanın Türevini Bulma
- Şimdi, $u(x)$ ve $v(x)$ fonksiyonlarının ayrı ayrı türevlerini alalım:
- $u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$ (Çünkü $x$'in türevi 1'dir.)
- $v'(x) = \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$ (Çünkü $\cos(x)$'in türevi $-\sin(x)$'tir.)
- Adım 3: Çarpım Kuralını Uygulama
- İki fonksiyonun çarpımının türevi için çarpım kuralını kullanırız. Çarpım kuralı şöyledir: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$. Şimdi bulduğumuz türevleri ve orijinal fonksiyonları bu kuralda yerine yazalım:
- $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
- $f'(x) = (1) \cdot (\cos(x)) + (x) \cdot (-\sin(x))$
- Adım 4: Sonucu Sadeleştirme
- Son olarak, bulduğumuz ifadeyi daha anlaşılır bir şekilde yazalım:
- $f'(x) = \cos(x) - x \cdot \sin(x)$
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneğinde verilen ifade ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
