Bu soruda, $\tan(x) = \sqrt{3}$ denkleminin genel çözümünü bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Denklemi Anlayalım: Bize verilen denklem $\tan(x) = \sqrt{3}$ şeklindedir. Amacımız, $x$'in hangi değerleri için bu eşitliğin sağlandığını bulmaktır.
- Temel Tanjant Değerini Bulalım: Öncelikle, tanjantı $\sqrt{3}$ olan bir açıyı düşünelim. Birim çember veya özel üçgenler bilgimizden, $\tan(\pi/3) = \sqrt{3}$ olduğunu biliyoruz. (Burada $\pi/3$ radyan, yani $60^\circ$'ye eşittir.)
- Tanjant Fonksiyonunun Periyodunu Hatırlayalım: Tanjant fonksiyonu, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarından farklı olarak, $\pi$ periyoduna sahiptir. Bu ne anlama gelir? Bu, $\tan(x) = \tan(x + k\pi)$ olduğu anlamına gelir, burada $k$ herhangi bir tam sayıdır ($k \in \mathbb{Z}$). Yani, tanjant değeri her $\pi$ radyan (veya $180^\circ$) sonra tekrar eder.
- Genel Çözümü Yazalım: Eğer $\tan(x) = \tan(\alpha)$ ise, bu denklemin genel çözümü $x = \alpha + k\pi$ şeklinde ifade edilir. Burada $\alpha$ denklemi sağlayan temel açıdır ve $k$ bir tam sayıdır.
- Denklemimize Uygulayalım: Bizim durumumuzda, $\alpha = \pi/3$ olarak bulduk. Dolayısıyla, $\tan(x) = \sqrt{3}$ denkleminin genel çözümü $x = \pi/3 + k\pi$ olacaktır. Burada $k \in \mathbb{Z}$ (tam sayılar kümesi) ifadesi, $k$'nin $-2, -1, 0, 1, 2, \dots$ gibi herhangi bir tam sayı olabileceğini gösterir.
- Seçenekleri Kontrol Edelim: Bulduğumuz genel çözümü seçeneklerle karşılaştıralım.
A seçeneği $x = \pi/3 + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ şeklindedir.
B seçeneği $x = \pi/6 + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ şeklindedir.
C seçeneği $x = \pi/3 + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ şeklindedir.
D seçeneği $x = \pi/6 + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ şeklindedir.
Gördüğümüz gibi, bulduğumuz $x = \pi/3 + k\pi$ çözümü A seçeneği ile tamamen aynıdır. C seçeneği, $2k\pi$ periyodu ile sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodunu yansıtır, ancak tanjant için periyot $\pi$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
