Vektörlerde çıkarma işlemi Test 1

İki vektörün farkının büyüklüğü ne zaman sıfır olur?

A) Vektörler dik olduğunda
B) Vektörler zıt yönlü olduğunda
C) Vektörler eşit olduğunda
D) Vektörler paralel olduğunda

Bu soruyu adım adım inceleyelim ve vektörlerin özelliklerini hatırlayarak doğru cevaba ulaşalım.

• 1. Adım: Soruyu Anlayalım

  "İki vektörün farkının büyüklüğü ne zaman sıfır olur?" ifadesi, matematiksel olarak iki vektör $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ için $| \vec{A} - \vec{B} | = 0$ şeklinde yazılır.

• 2. Adım: Büyüklüğün Sıfır Olmasının Anlamı

  Bir vektörün büyüklüğünün (şiddetinin veya uzunluğunun) sıfır olması, o vektörün sıfır vektörü olduğu anlamına gelir. Sıfır vektörü, başlangıç ve bitiş noktası aynı olan, yani hiçbir yöne işaret etmeyen ve büyüklüğü sıfır olan özel bir vektördür. Bu durumda, $\vec{A} - \vec{B}$ vektörünün sıfır vektörü olması gerekir. Yani, $\vec{A} - \vec{B} = \vec{0}$ olmalıdır.

• 3. Adım: Denklemi Çözelim

  Eğer $\vec{A} - \vec{B} = \vec{0}$ ise, bu denklemi yeniden düzenleyerek $\vec{A} = \vec{B}$ sonucuna ulaşırız.

• 4. Adım: Sonucu Yorumlayalım

  $\vec{A} = \vec{B}$ ifadesi, iki vektörün eşit olduğu anlamına gelir. İki vektörün eşit olması demek, hem büyüklüklerinin (şiddetlerinin) aynı olması hem de yönlerinin aynı olması demektir.

• 5. Adım: Seçenekleri Değerlendirelim

  • A) Vektörler dik olduğunda: Vektörler dik olduğunda yönleri farklıdır. Bu durumda farklarının büyüklüğü genellikle sıfır olmaz. Örneğin, $\vec{A} = (1,0)$ ve $\vec{B} = (0,1)$ ise, $\vec{A} - \vec{B} = (1,-1)$ ve büyüklüğü $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ olur, sıfır değildir.
  • B) Vektörler zıt yönlü olduğunda: Yönleri farklıdır. Eğer büyüklükleri eşitse bile, örneğin $\vec{A}$ ve $-\vec{A}$ ise, $\vec{A} - (-\vec{A}) = 2\vec{A}$ olur. Bu da ancak $\vec{A}$ sıfır vektörü ise sıfır olur. Genel durumda sıfır değildir.
  • C) Vektörler eşit olduğunda: Bu durum tam olarak $\vec{A} = \vec{B}$ anlamına gelir. Bu durumda $\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} - \vec{A} = \vec{0}$ olur ve sıfır vektörünün büyüklüğü sıfırdır. Bu seçenekteki ifade, bulduğumuz $\vec{A} = \vec{B}$ koşuluyla birebir örtüşmektedir.
  • D) Vektörler paralel olduğunda: Paralel vektörler aynı yönde veya zıt yönde olabilir. Eğer aynı yönde iseler ama büyüklükleri farklıysa (örneğin $\vec{A}$ ve $2\vec{A}$), farkları sıfır olmaz. Zıt yönde iseler de farkları sıfır olmaz (B seçeneğindeki gibi). Farklarının sıfır olması için hem paralel (aynı yönlü) hem de büyüklüklerinin eşit olması gerekir ki bu da zaten "eşit olma" durumudur.

Yukarıdaki adımları takip ettiğimizde, iki vektörün farkının büyüklüğünün sıfır olması için vektörlerin birbirine eşit olması gerektiğini açıkça görmüş oluruz.

Cevap C seçeneğidir.