Ters trigonometrik fonksiyonlardan biri olan $\arctan(x)$'in türevini adım adım nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Bu tür türevleri bulmak için genellikle ters fonksiyon türevi kuralını veya örtük türev alma yöntemini kullanırız. Biz burada örtük türev alma yöntemini tercih edeceğiz.
- Adım 1: Fonksiyonu Tanımlama
- Öncelikle, türevini almak istediğimiz fonksiyonu $y$ olarak tanımlayalım: $y = \arctan(x)$.
- Adım 2: Ters Fonksiyon İlişkisini Kurma
- Eğer $y = \arctan(x)$ ise, bu tanım gereği $x = \tan(y)$ anlamına gelir. Bu ifadeyi kullanarak türev alacağız.
- Adım 3: Her İki Tarafın $x$'e Göre Türevini Alma
- Şimdi $x = \tan(y)$ ifadesinin her iki tarafının $x$'e göre türevini alalım. Unutmayın, $y$ bir $x$ fonksiyonudur, bu yüzden zincir kuralını uygulamamız gerekecek.
- Sol tarafın $x$'e göre türevi $\frac{d}{dx}(x) = 1$'dir.
- Sağ tarafın $x$'e göre türevi $\frac{d}{dx}(\tan(y))$'dir. $\tan(y)$'nin türevi $\sec^2(y)$'dir, ancak $y$'nin $x$'e göre türevi olan $\frac{dy}{dx}$ ile çarpmamız gerekir (zincir kuralı). Yani, $\frac{d}{dx}(\tan(y)) = \sec^2(y) \cdot \frac{dy}{dx}$.
- Bu durumda denklemimiz şu hale gelir: $1 = \sec^2(y) \cdot \frac{dy}{dx}$.
- Adım 4: $\frac{dy}{dx}$'i Yalnız Bırakma
- Amacımız $\frac{dy}{dx}$'i bulmak olduğu için, denklemi $\frac{dy}{dx}$ için çözelim.
- Denklemi düzenlediğimizde $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2(y)}$ sonucunu elde ederiz.
- Adım 5: İfadeyi $x$ Cinsinden Yazma
- Şu anki türevimiz $y$ cinsinden. Ancak biz cevabı $x$ cinsinden istiyoruz. Trigonometrik bir özdeşlik olan $\sec^2(y) = 1 + \tan^2(y)$ ifadesini hatırlayalım.
- Adım 2'den biliyoruz ki $x = \tan(y)$. Bu bilgiyi özdeşlikte yerine koyalım.
- Böylece $\sec^2(y) = 1 + (x)^2 = 1 + x^2$ olur.
- Adım 6: Sonucu Yerine Koyma
- Bulduğumuz $\sec^2(y)$ ifadesini Adım 4'teki türev denklemine yerleştirelim.
- Sonuç olarak $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$ elde ederiz.
Böylece $\arctan(x)$ fonksiyonunun türevinin $\frac{1}{1+x^2}$ olduğunu bulmuş olduk.
Seçeneklere baktığımızda, bu sonucun A seçeneği ile eşleştiğini görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
