30-60-90 üçgeninde hipotenüs 12 cm ise, üçgenin alanı kaç cm²'dir?
Bu soruda, özel bir üçgen olan 30-60-90 üçgeninin özelliklerini kullanarak alanını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
30-60-90 üçgeni, kenar uzunlukları arasında belirli bir oran bulunan özel bir dik üçgendir. Bu oranları bilmek, bu tür üçgen problemlerini çözmek için anahtardır:
30 derecenin karşısındaki kenar uzunluğu $x$ ise,
60 derecenin karşısındaki kenar uzunluğu $x\sqrt{3}$ olur.
90 derecenin karşısındaki kenar (hipotenüs) uzunluğu ise $2x$ olur.
Soruda bize hipotenüsün 12 cm olduğu verilmiş. 30-60-90 üçgeninde hipotenüsün $2x$ olduğunu biliyoruz. O halde, bu bilgiyi kullanarak $x$ değerini bulabiliriz:
$2x = 12$ cm
Her iki tarafı 2'ye böldüğümüzde:
$x = rac{12}{2}$ cm
$x = 6$ cm
Şimdi üçgenin temel oran sabitini bulmuş olduk!
$x$ değerini bulduğumuza göre, üçgenin diğer kenarlarının uzunluklarını kolayca hesaplayabiliriz:
30 derecenin karşısındaki kenar (kısa dik kenar): $x = 6$ cm
60 derecenin karşısındaki kenar (uzun dik kenar): $x\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ cm
Bu iki kenar, bir dik üçgenin alanını hesaplamak için kullanacağımız taban ve yükseklik olacaktır.
Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır (taban $\times$ yükseklik $\div$ 2). Bizim üçgenimizin dik kenarları 6 cm ve $6\sqrt{3}$ cm'dir.
Alan $= rac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}$
Alan $= rac{1}{2} \times 6 \times 6\sqrt{3}$
Şimdi çarpma işlemini yapalım:
Alan $= 3 \times 6\sqrt{3}$
Alan $= 18\sqrt{3}$ cm²
Harika! Üçgenin alanını bulduk.
Bu adımları takip ederek, 30-60-90 üçgeninin özelliklerini kullanarak alanı doğru bir şekilde hesapladık.
Cevap A seçeneğidir.
