\( 2a34 \) dört basamaklı sayısının çözümlenmiş biçimi \( 2000 + 100a + 30 + 4 \)'tür. Bu sayı 5000'den küçük olduğuna göre \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 36Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir sayının çözümlenmiş biçimi ve bir eşitsizlik koşulu verilerek, bilinmeyen bir rakamın alabileceği değerler toplamını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Bize verilen sayı $2a34$ dört basamaklı bir sayıdır. Bu sayıda:
Bu sayının çözümlenmiş biçimi $2 \times 1000 + a \times 100 + 3 \times 10 + 4 \times 1$ şeklindedir. Bu da $2000 + 100a + 30 + 4$ olarak verilmiştir. Gördüğümüz gibi, verilen çözümleme doğrudur ve $a$ yüzler basamağındaki rakamı temsil etmektedir.
Bir rakam, $0$ ile $9$ arasındaki tam sayılardan biri olabilir. Dolayısıyla, $a$ rakamı için başlangıçta alabileceği değerler kümesi şudur:
$a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$
Soruda bize "Bu sayı 5000'den küçük olduğuna göre" koşulu verilmiştir. Yani, $2a34 < 5000$ olmalıdır.
Şimdi bu koşulu inceleyelim:
Bu durumda, $2a34$ sayısı her zaman $5000$'den küçük olacaktır, $a$'nın hangi rakam değeri aldığına bakılmaksızın. Yani, $a$'nın alabileceği değerler üzerinde bu koşul ek bir kısıtlama getirmez.
Yukarıdaki adımlara göre, $a$ rakamı $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ değerlerinin hepsini alabilir.
Bu değerlerin toplamını bulalım:
$0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9$
Bu bir aritmetik dizinin toplamıdır ve formülü $n(n+1)/2$ ile bulunabilir, burada $n$ en büyük sayıdır (bu durumda $9$).
Toplam $= \frac{9 \times (9+1)}{2} = \frac{9 \times 10}{2} = \frac{90}{2} = 45$
Buna göre, $a$'nın alabileceği değerler toplamı $45$'tir.
Cevap C seçeneğidir.
