f(x) = x² + 4x + 4 fonksiyonunun sıfırları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) İki farklı reel sıfırı vardır
B) Reel sıfırı yoktur
C) Çakışık iki reel sıfırı vardır
D) Sadece bir reel sıfırı vardır
Bir fonksiyonun sıfırları, o fonksiyonu sıfıra eşitleyen $x$ değerleridir. Yani, $f(x) = 0$ denklemini sağlayan $x$ değerlerini bulmamız gerekiyor.
- Adım 1: Fonksiyonu Sıfıra Eşitleyelim
- Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 + 4x + 4$. Fonksiyonun sıfırlarını bulmak için $f(x)$'i sıfıra eşitleriz: $x^2 + 4x + 4 = 0$.
- Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Bu tür denklemleri çözmek ve köklerinin doğasını anlamak için farklı yöntemler kullanabiliriz: çarpanlara ayırma veya diskriminant yöntemi.
- Adım 2: Denklemi Çözelim (Yöntem 1: Çarpanlara Ayırma / Tam Kare İfadesi)
- Denkleme dikkatlice baktığımızda, $x^2 + 4x + 4$ ifadesinin özel bir yapıya sahip olduğunu görebiliriz. Bu ifade, bir tam kare açılımıdır: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
- Burada $a=x$ ve $b=2$ olarak düşünürsek, $(x+2)^2 = x^2 + 2(x)(2) + 2^2 = x^2 + 4x + 4$ olduğunu görürüz.
- Yani, denklemimiz $(x+2)^2 = 0$ haline gelir.
- Bir sayının karesi sıfırsa, o sayı da sıfır olmalıdır. Bu durumda, $x+2 = 0$ olur.
- Buradan $x = -2$ sonucunu buluruz.
- Bu çözüm, $x=-2$ değerinin denklemi iki kez sağladığı anlamına gelir. Yani, $x=-2$ kökü "çift katlı kök"tür veya "çakışık iki kök" olarak adlandırılır.
- Adım 3: Denklemi Çözelim (Yöntem 2: Diskriminant Yöntemi)
- İkinci dereceden $ax^2 + bx + c = 0$ şeklindeki bir denklemin köklerinin doğasını belirlemek için diskriminant ($\Delta$) kullanırız. Diskriminant formülü $\Delta = b^2 - 4ac$'dir.
- Verilen denklem $x^2 + 4x + 4 = 0$ için katsayılar: $a=1$, $b=4$, $c=4$.
- Diskriminantı hesaplayalım: $\Delta = (4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$.
- Adım 4: Diskriminant Sonucunu Yorumlayalım
- Diskriminantın değeri $\Delta = 0$ olduğunda, denklemin "çakışık iki reel sıfırı" (veya "eşit iki reel kökü") vardır. Bu, tek bir $x$ değeri bulduğumuz ancak bu değerin iki kez tekrarlandığı anlamına gelir.
- Bu durumda, kökler $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ formülüyle bulunur. $\Delta = 0$ olduğu için $x_{1,2} = \frac{-b}{2a}$ olur.
- $x = \frac{-4}{2(1)} = \frac{-4}{2} = -2$. Bu da bize yine $x=-2$ sonucunu verir ve bu kökün çift katlı olduğunu gösterir.
- Adım 5: Seçenekleri Değerlendirelim
- Bulduğumuz sonuç, fonksiyonun çakışık iki reel sıfırı olduğudur. Şimdi seçeneklere bakalım:
- A) İki farklı reel sıfırı vardır: Bu, $\Delta > 0$ olduğunda geçerlidir. Bizim durumumuzda $\Delta = 0$.
- B) Reel sıfırı yoktur: Bu, $\Delta < 0$ olduğunda geçerlidir. Bizim durumumuzda $\Delta = 0$.
- C) Çakışık iki reel sıfırı vardır: Bu, $\Delta = 0$ olduğunda geçerlidir ve bizim bulduğumuz sonuçtur.
- D) Sadece bir reel sıfırı vardır: Bu ifade, bulduğumuz tek bir $x$ değeri ($x=-2$) olduğu için ilk bakışta doğru gibi görünebilir. Ancak matematiksel olarak, diskriminantın sıfır olduğu durumlarda, bu kökün "çift katlı" olduğu ve "çakışık iki reel sıfır" olarak kabul edildiği belirtilir. Bu, denklemin iki kökü olduğu ancak bu iki kökün birbirine eşit olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla C seçeneği, köklerin doğasını daha doğru ve eksiksiz bir şekilde ifade eder.
Bu adımları takip ederek, $f(x) = x^2 + 4x + 4$ fonksiyonunun çakışık iki reel sıfırı olduğunu açıkça görmüş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
