f(x) = -x + 5 fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Tüm reel sayılarda artandır
B) Tüm reel sayılarda azalandır
C) x > 5 için artandır
D) x < 5 için azalandır
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, verilen bir doğrusal fonksiyonun davranışını (artan mı, azalan mı) incelememiz isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Fonksiyonu Tanıyalım:
- Verilen fonksiyon $f(x) = -x + 5$ şeklindedir. Bu, bir doğrusal fonksiyondur. Genel olarak, doğrusal fonksiyonlar $f(x) = mx + b$ şeklinde ifade edilirler. Burada $m$ fonksiyonun eğimini, $b$ ise y-eksenini kestiği noktayı gösterir.
- 2. Eğim (m) Ne Anlama Gelir?
- Bir doğrusal fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu anlamak için eğimine ($m$) bakarız:
- Eğer eğim $m > 0$ ise, fonksiyon artandır. Yani, $x$ değeri arttıkça $f(x)$ değeri de artar.
- Eğer eğim $m < 0$ ise, fonksiyon azalandır. Yani, $x$ değeri arttıkça $f(x)$ değeri azalır.
- Eğer eğim $m = 0$ ise, fonksiyon sabittir. Yani, $x$ değeri değişse de $f(x)$ değeri değişmez.
- 3. Verilen Fonksiyonun Eğimini Bulalım:
- $f(x) = -x + 5$ fonksiyonunu $f(x) = mx + b$ genel formuyla karşılaştırırsak:
- $x$'in katsayısı olan $m$ değeri $-1$'dir. Yani, $m = -1$.
- Sabit terim olan $b$ değeri $5$'tir.
- 4. Fonksiyonun Davranışını Belirleyelim:
- Eğimimiz $m = -1$ olduğu için, bu değer $0$'dan küçüktür ($m < 0$). Bu durumda, fonksiyon tüm reel sayılarda azalandır. Yani, $x$ değerleri ne olursa olsun, $x$ arttıkça $f(x)$ değeri sürekli olarak azalacaktır. Doğrusal fonksiyonlar, eğimleri pozitifse her zaman artan, negatifse her zaman azalan olurlar; belirli aralıklarda davranışları değişmez.
- 5. Seçenekleri Değerlendirelim:
-
- A) Tüm reel sayılarda artandır: Eğimimiz $m = -1$ olduğu için bu ifade yanlıştır. Fonksiyon artan değil, azalandır.
- B) Tüm reel sayılarda azalandır: Eğimimiz $m = -1$ ve $m < 0$ olduğu için bu ifade doğrudur. Fonksiyon tüm tanım kümesinde azalandır.
- C) $x > 5$ için artandır: Doğrusal fonksiyonlar için artan veya azalan olma durumu belirli bir aralığa bağlı değildir, tüm tanım kümesinde aynıdır. Bu ifade yanlıştır.
- D) $x < 5$ için azalandır: Fonksiyon azalandır, ancak sadece $x < 5$ için değil, tüm reel sayılar için azalandır. Bu ifade, doğru bir durumu eksik belirttiği için en doğru ve genel ifade B seçeneğidir.
Bu analizlere göre, $f(x) = -x + 5$ fonksiyonunun eğimi negatif olduğu için tüm reel sayılarda azalandır.
Cevap B seçeneğidir.
