Artan azalan fonksiyonlar Test 1

f(x) = x² fonksiyonu için aşağıdaki aralıklardan hangisinde fonksiyon azalandır?

A) (-∞, 0)
B) (0, ∞)
C) (-∞, ∞)
D) (1, ∞)

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için genellikle iki temel yöntem kullanırız: fonksiyonun grafiğini incelemek veya türevini alarak işaretini analiz etmek. Bu soruda, türev alma yöntemi daha genel ve kesin bir yaklaşımdır.

• Adım 1: Fonksiyonu Tanıyalım

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^2$ şeklindedir. Bu fonksiyonun grafiği, tepe noktası orijinde $(0,0)$ olan, yukarı doğru açılan bir paraboldür.

• Adım 2: Azalan Fonksiyon Kavramını Hatırlayalım

  Bir fonksiyon, belirli bir aralıkta azalan ise, o aralıktaki $x$ değerleri arttıkça fonksiyonun $f(x)$ değerleri azalır. Grafiksel olarak, soldan sağa doğru ilerlerken grafik aşağı doğru hareket eder.

  Matematiksel olarak, bir fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için birinci türevinin işaretini inceleriz. Eğer bir aralıkta $f'(x) < 0$ ise, fonksiyon o aralıkta azalandır.

• Adım 3: Fonksiyonun Türevini Alalım

  Fonksiyonumuz $f(x) = x^2$ olduğuna göre, türevi şu şekildedir:

  $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

• Adım 4: Türevin İşaretini İnceleyelim

  Fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için $f'(x) < 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz.

  $2x < 0$

  Bu eşitsizliği çözmek için her iki tarafı 2'ye böleriz:

  $x < 0$

• Adım 5: Azalan Olduğu Aralığı Belirleyelim

  $x < 0$ eşitsizliği, $x$ değerlerinin 0'dan küçük olduğu tüm sayıları kapsar. Bu da $(- \infty, 0)$ aralığına karşılık gelir.

  Bu aralıkta, örneğin $x = -5$ için $f'(-5) = 2(-5) = -10 < 0$ olduğu için fonksiyon azalandır. Grafiksel olarak da, $x=0$ noktasının solunda parabol aşağı doğru inmektedir.

• Adım 6: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz azalan aralık $(- \infty, 0)$'dır. Seçeneklere baktığımızda:

  • A) $(- \infty, 0)$: Bu aralıkta $f'(x) = 2x < 0$ olduğu için fonksiyon azalandır.
  • B) $(0, \infty)$: Bu aralıkta $f'(x) = 2x > 0$ olduğu için fonksiyon artandır.
  • C) $(- \infty, \infty)$: Bu aralıkta fonksiyon hem azalan hem de artan kısımlara sahip olduğu için genel olarak ne azalan ne de artan diyemeyiz.
  • D) $(1, \infty)$: Bu aralık $(0, \infty)$'un bir alt kümesi olduğu için burada da fonksiyon artandır.

  Bu durumda, doğru seçenek A'dır.

Cevap A seçeneğidir.