Artan azalan fonksiyonlar Test 1

Bir fonksiyon hem artan hem de azalan olabilir mi?

A) Evet, her fonksiyon hem artan hem azalandır
B) Hayır, bir fonksiyon ya artandır ya da azalandır
C) Evet, farklı aralıklarda artan veya azalan olabilir
D) Sadece doğrusal fonksiyonlar için mümkündür

Bu soruda bir fonksiyonun aynı anda hem artan hem de azalan olup olamayacağını inceliyoruz. Fonksiyonların davranışlarını anlamak için öncelikle "artan" ve "azalan" kavramlarını netleştirelim:

• Artan Fonksiyon: Bir fonksiyon belirli bir aralıkta artan ise, bu aralıktaki $x$ değerleri arttıkça, fonksiyonun $f(x)$ değerleri de artar. Yani, $x_1 < x_2$ iken $f(x_1) < f(x_2)$ olur.
• Azalan Fonksiyon: Bir fonksiyon belirli bir aralıkta azalan ise, bu aralıktaki $x$ değerleri arttıkça, fonksiyonun $f(x)$ değerleri azalır. Yani, $x_1 < x_2$ iken $f(x_1) > f(x_2)$ olur.

Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) Evet, her fonksiyon hem artan hem azalandır

  Bu ifade doğru değildir. Örneğin, $f(x) = x$ fonksiyonu tüm gerçek sayılar kümesinde sürekli artandır. Hiçbir zaman azalan olmaz. Benzer şekilde, $f(x) = -x$ fonksiyonu sürekli azalandır.

• B) Hayır, bir fonksiyon ya artandır ya da azalandır

  Bu ifade de doğru değildir. Bir fonksiyonun tüm tanım kümesi boyunca sadece artan veya sadece azalan olması gerekmez. Birçok fonksiyon, tanım kümesinin farklı bölümlerinde farklı davranışlar sergiler.

• C) Evet, farklı aralıklarda artan veya azalan olabilir

  İşte bu doğru cevaptır! Bir fonksiyon, tanım kümesinin bir kısmında artan, başka bir kısmında ise azalan olabilir. En bilinen örneklerden biri $f(x) = x^2$ parabolüdür:

  Bu fonksiyon için:

  $x \in (-\infty, 0)$ aralığında (yani $x$ negatifken), $x$ değerleri arttıkça $f(x)$ değerleri azalır. Bu aralıkta fonksiyon azalandır.

  $x \in (0, \infty)$ aralığında (yani $x$ pozitifken), $x$ değerleri arttıkça $f(x)$ değerleri artar. Bu aralıkta fonksiyon artandır.

  Gördüğünüz gibi, $f(x) = x^2$ fonksiyonu hem azalan hem de artan özellik gösterir, ancak bu özellikler farklı aralıklarda ortaya çıkar.

• D) Sadece doğrusal fonksiyonlar için mümkündür

  Bu ifade de yanlıştır. Doğrusal fonksiyonlar ($f(x) = ax + b$ şeklinde olanlar) ya sürekli artandır (eğer $a > 0$ ise), ya sürekli azalandır (eğer $a < 0$ ise), ya da sabittir (eğer $a = 0$ ise). Farklı aralıklarda artan ve azalan olma durumu doğrusal fonksiyonlar için geçerli değildir (parçalı doğrusal fonksiyonlar hariç, ama genel bir doğrusal fonksiyon için değil).

Bu nedenle, bir fonksiyonun farklı aralıklarda artan veya azalan olması oldukça yaygın bir durumdur.

Cevap C seçeneğidir.