logₐb * logₙa = 1 kuralına göre, log₉27 * log₂₇9 işleminin sonucu kaçtır?
Bugün sizlerle logaritma kurallarını kullanarak bir problemi adım adım çözeceğiz. Unutmayın, logaritma problemleri ilk başta karmaşık gibi görünse de, doğru kuralları uyguladığımızda oldukça basit hale gelir.
Bize verilen kural şudur: $log_a b \cdot log_n a = 1$.
Bu kural, aslında logaritmanın temel özelliklerinden biri olan taban değiştirme kuralının özel bir durumundan gelir. Genel olarak, $log_a b = \frac{1}{log_b a}$ kuralı vardır. Bu kuralı $log_a b \cdot log_b a = 1$ şeklinde de yazabiliriz. Verilen kuralda eğer $n=b$ olursa, kuralımız tam olarak bu temel özelliğe dönüşür.
Çözmemiz istenen işlem şudur: $log_9 27 \cdot log_{27} 9$.
Şimdi bu ifadeyi verilen kural ile karşılaştıralım:
Verilen kural: $log_a b \cdot log_n a = 1$
Problemdeki ifade: $log_9 27 \cdot log_{27} 9$
Burada $a=9$, $b=27$ ve ikinci terimin tabanı $n=27$ ve argümanı $a=9$ olarak görüyoruz.
Gördüğünüz gibi, problemdeki $b$ değeri ($27$) ile kuraldaki $n$ değeri ($27$) birbirine eşittir. Bu durumda, verilen kural $log_a b \cdot log_b a = 1$ şeklinde uygulanabilir.
Problemdeki $log_9 27 \cdot log_{27} 9$ ifadesi, tam olarak $log_a b \cdot log_b a$ yapısına uymaktadır. Burada $a=9$ ve $b=27$ olarak düşünebiliriz.
Bu durumda, kurala göre doğrudan sonuç $1$ olacaktır.
Eğer kuralı hatırlamakta zorlanırsak veya doğrulamak istersek, her bir logaritma ifadesini ayrı ayrı hesaplayabiliriz:
$log_9 27$ değerini bulalım:
Bunun $x$ olduğunu varsayalım: $log_9 27 = x$.
Logaritmanın tanımına göre, $9^x = 27$ demektir.
Her iki tarafı da $3$ tabanında yazalım: $(3^2)^x = 3^3 \implies 3^{2x} = 3^3$.
Üsleri eşitlediğimizde: $2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$.
$log_{27} 9$ değerini bulalım:
Bunun $y$ olduğunu varsayalım: $log_{27} 9 = y$.
Logaritmanın tanımına göre, $27^y = 9$ demektir.
Her iki tarafı da $3$ tabanında yazalım: $(3^3)^y = 3^2 \implies 3^{3y} = 3^2$.
Üsleri eşitlediğimizde: $3y = 2 \implies y = \frac{2}{3}$.
Şimdi bu iki değeri çarpalım:
$log_9 27 \cdot log_{27} 9 = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$.
Gördüğünüz gibi, her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. Bu da kuralın doğruluğunu ve uygulamasını pekiştiriyor.
Cevap B seçeneğidir.
