Tam sayılar kümesinde Δ işlemi x Δ y = 2x + 2y - xy şeklinde tanımlanıyor. Bu işlem için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Değişme özelliği vardır
B) Birleşme özelliği vardır
C) Birim elemanı 1'dir
D) Ters eleman özelliği vardır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, tam sayılar kümesinde tanımlanmış özel bir işlem olan $\Delta$ işlemini inceleyeceğiz. Bu işlem $x \Delta y = 2x + 2y - xy$ şeklinde tanımlanmıştır. Amacımız, bu işlemin hangi özelliklere sahip olduğunu adım adım kontrol etmek ve doğru seçeneği bulmaktır. Her bir özelliği dikkatlice inceleyelim.
- A) Değişme özelliği vardır
-
Bir işlemin değişme özelliğine sahip olması için, işlem sırasının sonucu değiştirmemesi gerekir. Yani, her $x, y \in \mathbb{Z}$ için $x \Delta y = y \Delta x$ olmalıdır.
- Önce $x \Delta y$ ifadesini yazalım: $x \Delta y = 2x + 2y - xy$.
- Şimdi de $y \Delta x$ ifadesini yazalım: $y \Delta x = 2y + 2x - yx$.
- Tam sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği olduğu için $xy = yx$ olduğunu biliyoruz.
- Bu durumda, $2x + 2y - xy$ ifadesi ile $2y + 2x - yx$ ifadesi birbirine eşittir. Çünkü terimlerin sırası değişse de toplam ve çarpım aynı kalır.
- Dolayısıyla, $x \Delta y = y \Delta x$ eşitliği sağlanır.
- Bu işlem değişme özelliğine sahiptir.
- B) Birleşme özelliği vardır
-
Bir işlemin birleşme özelliğine sahip olması için, üç eleman üzerinde işlem yaparken parantezlerin yerinin sonucu değiştirmemesi gerekir. Yani, her $x, y, z \in \mathbb{Z}$ için $(x \Delta y) \Delta z = x \Delta (y \Delta z)$ olmalıdır.
- Önce sol tarafı hesaplayalım: $(x \Delta y) \Delta z$.
- İlk olarak $x \Delta y = 2x + 2y - xy$ ifadesini buluruz.
- Şimdi bu ifadeyi $z$ ile işleme sokalım: $(2x + 2y - xy) \Delta z = 2(2x + 2y - xy) + 2z - (2x + 2y - xy)z$.
- Bu ifadeyi düzenlersek: $4x + 4y - 2xy + 2z - 2xz - 2yz + xyz$.
- Şimdi sağ tarafı hesaplayalım: $x \Delta (y \Delta z)$.
- İlk olarak $y \Delta z = 2y + 2z - yz$ ifadesini buluruz.
- Şimdi $x$ ile bu ifadeyi işleme sokalım: $x \Delta (2y + 2z - yz) = 2x + 2(2y + 2z - yz) - x(2y + 2z - yz)$.
- Bu ifadeyi düzenlersek: $2x + 4y + 4z - 2yz - 2xy - 2xz + xyz$.
- Sol tarafın sonucu ($4x + 4y - 2xy + 2z - 2xz - 2yz + xyz$) ile sağ tarafın sonucu ($2x + 4y + 4z - 2yz - 2xy - 2xz + xyz$) birbirine eşit değildir (örneğin, $4x$ ve $2x$ terimleri farklıdır).
- Bu işlem birleşme özelliğine sahip değildir.
- C) Birim elemanı 1'dir
-
Bir işlemin birim (etkisiz) elemanı $e$ varsa, her $x \in \mathbb{Z}$ için $x \Delta e = x$ ve $e \Delta x = x$ olmalıdır.
- Değişme özelliği olduğu için sadece $x \Delta e = x$ koşulunu kontrol etmemiz yeterlidir.
- $2x + 2e - xe = x$.
- Bu denklemi $e$ için çözelim: $x + 2e - xe = 0 \Rightarrow x = xe - 2e \Rightarrow x = e(x - 2)$.
- Bu eşitliğin her $x$ tam sayısı için doğru olması gerekir.
- Eğer $x=1$ alırsak: $1 = e(1 - 2) \Rightarrow 1 = -e \Rightarrow e = -1$.
- Eğer $x=3$ alırsak: $3 = e(3 - 2) \Rightarrow 3 = e(1) \Rightarrow e = 3$.
- Birim eleman tek ve sabit bir değer olmalıdır. Farklı $x$ değerleri için farklı $e$ değerleri bulduğumuzdan, bu işlemin bir birim elemanı yoktur.
- Ayrıca, $x=2$ için denklemi kontrol edersek: $2 = e(2 - 2) \Rightarrow 2 = e \cdot 0 \Rightarrow 2 = 0$. Bu bir çelişkidir.
- Dolayısıyla, bu işlemin birim elemanı yoktur ve dolayısıyla 1 de birim eleman değildir.
- D) Ters eleman özelliği vardır
-
Bir elemanın tersi olabilmesi için öncelikle işlemin bir birim elemanının olması gerekir. Eğer birim eleman $e$ ise, bir $x$ elemanının tersi $x^{-1}$ için $x \Delta x^{-1} = e$ olmalıdır.
- Yukarıdaki C seçeneğinde de gösterdiğimiz gibi, bu işlemin bir birim elemanı yoktur.
- Birim elemanı olmayan bir işlemde ters eleman özelliğinden bahsedilemez.
- Dolayısıyla, ters eleman özelliği yoktur.
Yaptığımız incelemeler sonucunda, tanımlanan $\Delta$ işleminin sadece değişme özelliğine sahip olduğunu gördük.
Cevap A seçeneğidir.
