Bir kasabanın nüfusu, her 10 yılda bir yaklaşık olarak 1.5 katına çıkmaktadır. Eğer kasabanın şu anki nüfusu 20.000 ise, 30 yıl sonraki nüfusu tahmin etmek için üslü sayılarla hangi ifadeyi kullanırız?
A) $20.000 \times (1.5)^2$
B) $20.000 \times (1.5)^3$
C) $20.000 \times (1.5)^4$
D) $20.000 \times (1.5)^5$
Sevgili öğrenciler, bu tür nüfus artışı problemlerini çözerken, değişimin belirli zaman aralıklarında nasıl gerçekleştiğini anlamak çok önemlidir. Hadi bu soruyu adım adım inceleyelim:
- Başlangıç Nüfusu: Kasabanın şu anki nüfusu $20.000$'dir. Bu bizim başlangıç değerimizdir.
- Nüfus Artış Oranı ve Süresi: Soruda belirtildiği gibi, kasabanın nüfusu her 10 yılda bir yaklaşık olarak $1.5$ katına çıkmaktadır. Bu, her 10 yıl geçtiğinde mevcut nüfusu $1.5$ ile çarpmamız gerektiği anlamına gelir.
- Toplam Süre: Bizden $30$ yıl sonraki nüfusu tahmin etmemiz isteniyor.
- Kaç Tane 10 Yıllık Dönem Var?: Toplam $30$ yıl içinde kaç tane $10$ yıllık dönem olduğunu bulalım. Bunun için toplam süreyi bir dönemin süresine böleriz: $30 \text{ yıl} \div 10 \text{ yıl/dönem} = 3 \text{ dönem}$. Bu, nüfusun $1.5$ katına çıkma işleminin $3$ kez tekrarlanacağı anlamına gelir.
- Nüfusun Zaman İçindeki Değişimi:
Başlangıçta nüfus $20.000$'dir.
İlk 10 yılın sonunda nüfus $20.000 \times 1.5$ olur.
İkinci 10 yılın sonunda (yani toplam 20 yıl sonra) nüfus, ilk 10 yıl sonundaki nüfusun $1.5$ katı olur: $(20.000 \times 1.5) \times 1.5 = 20.000 \times (1.5)^2$.
Üçüncü 10 yılın sonunda (yani toplam 30 yıl sonra) nüfus, ikinci 10 yıl sonundaki nüfusun $1.5$ katı olur: $(20.000 \times (1.5)^2) \times 1.5 = 20.000 \times (1.5)^3$.
- Üslü İfadeyi Oluşturma: Gördüğümüz gibi, $30$ yıl sonraki nüfusu bulmak için başlangıç nüfusunu $1.5$ sayısıyla $3$ kez çarpmamız gerekiyor. Matematikte tekrarlı çarpma işlemini üslü sayılarla ifade ederiz. Yani $1.5 \times 1.5 \times 1.5$ yerine $(1.5)^3$ yazarız.
- Sonuç İfade: Bu durumda, $30$ yıl sonraki nüfusu tahmin etmek için kullanacağımız ifade şu şekildedir: $20.000 \times (1.5)^3$.
- Seçeneklerle Karşılaştırma: Bu ifadeyi verilen seçeneklerle karşılaştırdığımızda, B seçeneğinin doğru olduğunu görürüz.
Cevap B seçeneğidir.
