9. Sınıf sayı kümelerinin kesişimi nedir? Test 1

Rasyonel sayılar kümesinde A = {x | x < 1/2} ve B = {x | x > 1/3} kümeleri veriliyor. Buna göre A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (1/3, 1/2)
B) [1/3, 1/2]
C) (1/3, 1/2]
D) [1/3, 1/2)

Merhaba sevgili öğrenciler, rasyonel sayılar kümesinde kümelerle ilgili bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Amacımız, verilen iki kümenin kesişimini doğru bir şekilde bulmak.

• Adım 1: Verilen Kümeleri Anlayalım

• Öncelikle, bize verilen $A$ ve $B$ kümelerinin ne anlama geldiğini netleştirelim:

  • $A = \{x | x < 1/2\}$ kümesi, rasyonel sayılar kümesinde $1/2$'den küçük olan tüm $x$ değerlerini içerir. Bu küme, sayı doğrusunda $1/2$'nin solunda kalan tüm noktaları ifade eder ve $1/2$ bu kümeye dahil değildir. Aralık gösterimiyle $A = (-\infty, 1/2)$ şeklinde yazılır.
  • $B = \{x | x > 1/3\}$ kümesi, rasyonel sayılar kümesinde $1/3$'ten büyük olan tüm $x$ değerlerini içerir. Bu küme, sayı doğrusunda $1/3$'ün sağında kalan tüm noktaları ifade eder ve $1/3$ bu kümeye dahil değildir. Aralık gösterimiyle $B = (1/3, \infty)$ şeklinde yazılır.
• Adım 2: Kesişim ($A \cap B$) Ne Anlama Geliyor?

• İki kümenin kesişimi ($A \cap B$), her iki kümede de ortak olarak bulunan elemanları ifade eder. Yani, hem $A$ kümesinin şartını ($x < 1/2$) hem de $B$ kümesinin şartını ($x > 1/3$) aynı anda sağlayan $x$ değerlerini bulmamız gerekiyor.

  Bu durumda, $A \cap B$ kümesi için aradığımız $x$ değerleri şu iki eşitsizliği aynı anda sağlamalıdır:

  • $x < 1/2$
  • $x > 1/3$
• Adım 3: Eşitsizlikleri Birleştirelim

• Şimdi bu iki eşitsizliği birleştirelim. $x$ hem $1/3$'ten büyük hem de $1/2$'den küçük olmalıdır. Bunu tek bir eşitsizlik olarak şu şekilde yazabiliriz:

  $1/3 < x < 1/2$

  Bu eşitsizlik, $x$ değerlerinin $1/3$ ile $1/2$ arasında olduğunu ve bu uç noktaların ($1/3$ ve $1/2$) kümeye dahil olmadığını gösterir. Çünkü her iki eşitsizlikte de "küçüktür" ($<$) veya "büyüktür" ($>$) sembolleri kullanılmıştır, "küçük eşittir" ($\le$) veya "büyük eşittir" ($\ge$) sembolleri kullanılmamıştır.

• Adım 4: Kesişim Kümesini Aralık Notasyonuyla Yazalım

• Matematikte, uç noktaları dahil olmayan bir aralık parantezlerle gösterilir. Bu nedenle, $1/3 < x < 1/2$ eşitsizliğini sağlayan $x$ değerlerinin kümesi aralık notasyonuyla şu şekilde ifade edilir:

  $(1/3, 1/2)$

• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştıralım

• Bulduğumuz sonuç olan $(1/3, 1/2)$'yi verilen seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $(1/3, 1/2)$
  • B) $[1/3, 1/2]$ (Uç noktalar dahil olduğu için yanlış)
  • C) $(1/3, 1/2]$ ($1/2$ dahil olduğu için yanlış)
  • D) $[1/3, 1/2)$ ($1/3$ dahil olduğu için yanlış)

  Görüldüğü gibi, bulduğumuz sonuç A seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.