Bu soruda, köklü ifadelerle toplama ve çıkarma işlemi yapacağız. Köklü ifadeleri toplayıp çıkarabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Bu nedenle, öncelikle her bir köklü ifadeyi en sade haline getirmemiz gerekiyor. Hadi adım adım ilerleyelim!
- Adım 1: Her bir köklü ifadeyi en sade haline getirelim.
- Bunun için kök içindeki sayıları, bir kısmı tam kare olan iki sayının çarpımı şeklinde yazmaya çalışacağız. Amacımız, kök dışına çıkarabildiğimiz kadar sayıyı çıkarmak.
- İlk ifademiz: $\sqrt{12}$
- $12$ sayısını $4 \times 3$ olarak yazabiliriz. Burada $4$ bir tam karedir ($2^2$).
- Bu durumda, $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ olur.
- İkinci ifademiz: $\sqrt{27}$
- $27$ sayısını $9 \times 3$ olarak yazabiliriz. Burada $9$ bir tam karedir ($3^2$).
- Bu durumda, $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ olur.
- Üçüncü ifademiz: $\sqrt{75}$
- $75$ sayısını $25 \times 3$ olarak yazabiliriz. Burada $25$ bir tam karedir ($5^2$).
- Bu durumda, $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ olur.
- Adım 2: Sadeleştirdiğimiz ifadeleri ana denklemde yerine yazalım.
- Başlangıçtaki işlemimiz $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{75}$ idi.
- Şimdi bu ifadeyi sadeleşmiş halleriyle yazarsak: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3}$ şeklinde olur.
- Adım 3: Köklü ifadelerle toplama ve çıkarma işlemini yapalım.
- Gördüğünüz gibi, tüm ifadelerin kök içi aynıdır ($ \sqrt{3} $). Bu durumda, kök dışındaki katsayıları (sayıları) kendi aralarında toplayıp çıkarabiliriz. Tıpkı $2x + 3x - 5x$ gibi düşünebilirsiniz.
- $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (2 + 3 - 5)\sqrt{3}$
- Parantez içindeki işlemi yapalım: Önce $2 + 3 = 5$. Sonra $5 - 5 = 0$.
- Yani, $(2 + 3 - 5)\sqrt{3} = 0\sqrt{3}$ elde ederiz.
- Herhangi bir sayıyı $0$ ile çarptığımızda sonuç $0$ olacağı için, $0\sqrt{3} = 0$ bulunur.
Bu durumda, işlemin sonucu $0$'dır.
Cevap A seçeneğidir.
