12. Sınıf Matematik Türev Alma Kuralları ve Örnekler Test 1

f(x) = e^(3x) fonksiyonunun türevi nedir?

A) 3e^(3x)
B) e^(3x)
C) 3e^(x)
D) e^(3)
E) 3x e^(3x)

Bu soruda, $f(x) = e^{3x}$ fonksiyonunun türevini bulmamız isteniyor. Bu tür üslü fonksiyonların türevini alırken zincir kuralını (chain rule) kullanmamız gerekir.

• Adım 1: Genel Kuralı Hatırlayalım

  Üstel bir fonksiyon olan $e^{u(x)}$'in türevi için genel kural şöyledir:

  Eğer $f(x) = e^{u(x)}$ ise, o zaman $f'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$ olur.

  Burada $u(x)$, $e$'nin üssündeki fonksiyondur ve $u'(x)$ de bu fonksiyonun türevidir.

• Adım 2: Fonksiyonumuzdaki $u(x)$'i Belirleyelim

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = e^{3x}$'tir. Bu fonksiyonda, $e$'nin üssündeki ifade $3x$'tir. Yani, $u(x) = 3x$ diyebiliriz.

• Adım 3: $u(x)$'in Türevini ($u'(x)$) Bulalım

  $u(x) = 3x$ fonksiyonunun $x$'e göre türevini alalım:

  $u'(x) = \frac{d}{dx}(3x)$

  Sabit bir sayının (3) bir değişkene ($x$) çarpımının türevi, sabitin kendisine eşittir.

  $u'(x) = 3$

• Adım 4: Zincir Kuralını Uygulayarak $f'(x)$'i Bulalım

  Şimdi genel kuralımız olan $f'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$ formülüne bulduğumuz değerleri yerleştirelim:

  $u(x) = 3x$ ve $u'(x) = 3$ idi.

  $f'(x) = e^{(3x)} \cdot 3$

  Bu ifadeyi daha düzenli yazarsak:

  $f'(x) = 3e^{3x}$

• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz türev $3e^{3x}$'tir. Seçeneklere baktığımızda, bu ifade A seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.