Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, mutlak değer fonksiyonlarının grafiğini ve eğimini anlamamız gerekiyor. Mutlak değer fonksiyonları, içindeki ifadenin işaretine göre farklı doğrusal parçalardan oluşur. Bu parçaların her birinin ayrı bir eğimi vardır.
- Öncelikle, verilen fonksiyon $f(x) = |3x - 12|$ şeklindedir. Bir mutlak değer fonksiyonunun grafiği, genellikle bir "V" şeklindedir. Bu "V" şeklinin bir kolu pozitif eğimli, diğer kolu ise negatif eğimlidir.
- Mutlak değerin içindeki ifadenin işaret değiştirdiği noktayı bulmalıyız. Bu nokta, fonksiyonun "köşe" noktasıdır ve eğimin değiştiği yerdir. Bunun için mutlak değerin içini sıfıra eşitleriz:
$3x - 12 = 0$
$3x = 12$
$x = 4$
Bu, $x=4$ noktasının fonksiyonun kritik noktası olduğunu gösterir.
- Şimdi, $x=4$ noktasının sağında ve solunda fonksiyonun nasıl davrandığını inceleyelim:
- Durum 1: Eğer $x \ge 4$ ise, mutlak değerin içindeki ifade ($3x - 12$) pozitif veya sıfır olur.
Bu durumda, $|3x - 12| = 3x - 12$ olur.
Yani, $f(x) = 3x - 12$.
Bu bir doğrusal fonksiyondur ve eğimi ($x$'in katsayısı) $m = 3$'tür. Bu eğim pozitif bir eğimdir.
- Durum 2: Eğer $x < 4$ ise, mutlak değerin içindeki ifade ($3x - 12$) negatif olur.
Bu durumda, $|3x - 12| = -(3x - 12) = -3x + 12$ olur.
Yani, $f(x) = -3x + 12$.
Bu da bir doğrusal fonksiyondur ve eğimi ($x$'in katsayısı) $m = -3$'tür. Bu eğim negatif bir eğimdir.
- Soru bizden fonksiyonun grafiğinin hangi $x$ değerlerinde pozitif eğimli doğru şeklinde olduğunu istiyor. Yaptığımız incelemeye göre, fonksiyonun eğimi $x > 4$ olduğunda pozitiftir ($m=3$). $x=4$ noktasında ise fonksiyonun bir köşesi vardır ve bu noktada eğim tanımlı değildir (ya da tek bir eğimden bahsedilemez). Bu nedenle, pozitif eğimli olduğu aralık $x > 4$ olmalıdır.
Cevap B seçeneğidir.
