Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, matematikte çok önemli bir özdeşlik olan "iki kare farkı" özdeşliğini tanımamız ve hangi ifadenin bu özdeşliğe uymadığını bulmamız isteniyor. Haydi adım adım inceleyelim:
- İki Kare Farkı Özdeşliği Nedir?
- İki kare farkı özdeşliği, iki sayının karelerinin farkını ifade eder. Genel formülü şöyledir: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
- Bu özdeşliğin temel özelliği, iki terimin de bir sayının veya ifadenin karesi olması ve bu iki terim arasında çıkarma (-) işleminin bulunmasıdır.
- Şimdi seçenekleri bu kurala göre tek tek inceleyelim:
- A) $x^2 - 25$
- Burada $x^2$ bir sayının karesidir (yani $x$'in karesi).
- $25$ de bir sayının karesidir (yani $5$'in karesi, $5^2 = 25$).
- İki terim arasında çıkarma işlemi ($ - $) bulunmaktadır.
- Dolayısıyla, $x^2 - 5^2$ ifadesi iki kare farkı özdeşliğine uyar. ($x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$)
- B) $16 - y^2$
- Burada $16$ bir sayının karesidir (yani $4$'ün karesi, $4^2 = 16$).
- $y^2$ de bir sayının karesidir (yani $y$'nin karesi).
- İki terim arasında çıkarma işlemi ($ - $) bulunmaktadır.
- Dolayısıyla, $4^2 - y^2$ ifadesi iki kare farkı özdeşliğine uyar. ($16 - y^2 = (4-y)(4+y)$)
- C) $a^2 + b^2$
- Burada $a^2$ bir sayının karesidir (yani $a$'nın karesi).
- $b^2$ de bir sayının karesidir (yani $b$'nin karesi).
- Ancak, bu iki terim arasında toplama (+) işlemi bulunmaktadır. İki kare farkı özdeşliğinde mutlaka çıkarma işlemi olmalıdır.
- Bu ifade, iki kare farkı özdeşliğine uymaz. Bu ifade çarpanlarına ayrılamaz (gerçek sayılar kümesinde).
- D) $9m^2 - 4n^2$
- Burada $9m^2$ bir ifadenin karesidir (yani $(3m)^2 = 9m^2$).
- $4n^2$ de bir ifadenin karesidir (yani $(2n)^2 = 4n^2$).
- İki terim arasında çıkarma işlemi ($ - $) bulunmaktadır.
- Dolayısıyla, $(3m)^2 - (2n)^2$ ifadesi iki kare farkı özdeşliğine uyar. ($9m^2 - 4n^2 = (3m-2n)(3m+2n)$)
Gördüğümüz gibi, $a^2 + b^2$ ifadesi diğerlerinden farklı olarak iki kare farkı özdeşliğinin temel kuralı olan çıkarma işlemi yerine toplama işlemi içerir. Bu nedenle, bu ifade iki kare farkı özdeşliğine uymaz.
Cevap C seçeneğidir.
