KPSS Üçgende benzerlik Test 1

ABC üçgeninde [DE] // [BC] olacak şekilde D ∈ [AB], E ∈ [AC] noktaları alınıyor. |AD| = 4 cm, |DB| = 6 cm ve |AE| = 3 cm olduğuna göre, |EC| kaç cm'dir?

A) 4.5
B) 5
C) 5.5
D) 6
E) 6.5

• Problemi Anlayalım: Bir $ABC$ üçgenimiz var. Bu üçgenin $AB$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası ve $AC$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası bulunuyor. Bize verilen en önemli bilgi, $DE$ doğru parçasının $BC$ doğru parçasına paralel olduğudur ($[DE] // [BC]$). Bu paralellik, üçgenlerde benzerlik veya orantı teoremlerini kullanmamız gerektiğini gösterir.
• Hangi Teoremi Kullanacağız? Bir üçgende bir kenara paralel çizilen bir doğru, diğer iki kenarı kestiğinde, bu kenarları orantılı olarak böler. Bu teorem, "Temel Orantı Teoremi" veya "Thales Teoremi" olarak bilinir. Bu teoreme göre, eğer $[DE] // [BC]$ ise, o zaman $AD$ uzunluğunun $DB$ uzunluğuna oranı, $AE$ uzunluğunun $EC$ uzunluğuna oranına eşit olacaktır. Yani, $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}$ eşitliğini kullanacağız.
• Verilenleri Yazalım:
  • $|AD| = 4$ cm
  • $|DB| = 6$ cm
  • $|AE| = 3$ cm
  • Bizden istenen $|EC|$ uzunluğudur.
• Teoremi Uygulayalım: Şimdi Temel Orantı Teoremi'ndeki yerlerine verilen değerleri yazalım: $$ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} $$ $$ \frac{4}{6} = \frac{3}{|EC|} $$
• Denklemi Çözelim: Denklemi çözerek $|EC|$ değerini bulalım:
  • Öncelikle sol taraftaki oranı sadeleştirelim: $$ \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$
  • Şimdi denklemimiz şu hale geldi: $$ \frac{2}{3} = \frac{3}{|EC|} $$
  • İçler dışlar çarpımı yaparak $|EC|$'yi yalnız bırakalım: $$ 2 \times |EC| = 3 \times 3 $$ $$ 2 \times |EC| = 9 $$
  • Her iki tarafı 2'ye bölelim: $$ |EC| = \frac{9}{2} $$ $$ |EC| = 4.5 \text{ cm} $$
• Sonucu Kontrol Edelim: Bulduğumuz $4.5$ cm değeri, seçeneklerde A şıkkında yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.