12. Sınıf Türev Alma Kuralları: Çarpımın ve Bölümün Türevi Test 1

f(x) = (x² + 3x - 1)/(x - 2) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x² - 4x - 5)/(x - 2)²
B) (x² - 4x + 5)/(x - 2)²
C) (x² - 4x - 5)/(x - 2)
D) (x² - 4x + 5)/(x - 2)
E) (x² + 4x - 5)/(x - 2)²

Hadi bu türev sorusunu adım adım çözelim ve doğru cevaba ulaşalım! 🚀

• 🧪 Öncelikle, bölümün türevi kuralını hatırlayalım: Eğer $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ ise, $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$ dir.
• 📐 Şimdi, fonksiyonumuzdaki $u(x)$ ve $v(x)$'i belirleyelim: $u(x) = x^2 + 3x - 1$ ve $v(x) = x - 2$.
• 🧮 $u(x)$'in türevini alalım: $u'(x) = 2x + 3$.
• 🧮 $v(x)$'in türevini alalım: $v'(x) = 1$.
• 💡 Şimdi bölümün türevi formülünde bulduğumuz değerleri yerine koyalım: $f'(x) = \frac{(2x + 3)(x - 2) - (x^2 + 3x - 1)(1)}{(x - 2)^2}$.
• ⚠️ Payı sadeleştirelim: $(2x + 3)(x - 2) = 2x^2 - 4x + 3x - 6 = 2x^2 - x - 6$ ve $(x^2 + 3x - 1)(1) = x^2 + 3x - 1$. Bu durumda, $f'(x) = \frac{2x^2 - x - 6 - (x^2 + 3x - 1)}{(x - 2)^2}$ olur.
• 📌 Payı daha da sadeleştirelim: $2x^2 - x - 6 - x^2 - 3x + 1 = x^2 - 4x - 5$. Yani, $f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 5}{(x - 2)^2}$.
• ✅ Doğru Seçenek A'dır.