Fonksiyon çeşitleri (Birebir, Örten) Test 1

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi birebir fonksiyondur?

A) f: R → R, f(x) = x²
B) f: R → R, f(x) = |x|
C) f: R → R, f(x) = 2x + 3
D) f: R → R, f(x) = sin x

Bir fonksiyonun birebir (veya injektif) olması demek, tanım kümesindeki farklı elemanların değer kümesinde de farklı görüntülere sahip olması demektir. Yani, eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, bu durumda mutlaka $x_1 = x_2$ olmalıdır. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$

  Bu fonksiyon birebir değildir. Örneğin, $f(2) = 2^2 = 4$ ve $f(-2) = (-2)^2 = 4$ değerlerini alırız. Burada $2 \neq -2$ olmasına rağmen, $f(2) = f(-2)$'dir. Bu durum, tanım kümesindeki farklı elemanların aynı görüntüye sahip olduğunu gösterir.

• B) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = |x|$

  Bu fonksiyon da birebir değildir. Örneğin, $f(3) = |3| = 3$ ve $f(-3) = |-3| = 3$ değerlerini alırız. Burada $3 \neq -3$ olmasına rağmen, $f(3) = f(-3)$'tür. Bu da fonksiyonun birebir olmadığını gösterir.

• C) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 3$

  Bu fonksiyonun birebir olup olmadığını kontrol edelim. Varsayalım ki $f(x_1) = f(x_2)$ olsun. Bu durumda:

  • $2x_1 + 3 = 2x_2 + 3$
  • Her iki taraftan $3$ çıkarırsak: $2x_1 = 2x_2$
  • Her iki tarafı $2$ye bölersek: $x_1 = x_2$

  Gördüğümüz gibi, $f(x_1) = f(x_2)$ eşitliği sadece $x_1 = x_2$ olduğunda sağlanır. Bu da fonksiyonun birebir olduğunu gösterir. Genel olarak, $f(x) = ax + b$ şeklindeki doğrusal fonksiyonlar ($a \neq 0$ olmak üzere) birebirdir.

• D) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sin x$

  Sinüs fonksiyonu periyodik bir fonksiyondur, yani belirli aralıklarla aynı değerleri tekrar eder. Örneğin, $\sin(0) = 0$ ve $\sin(\pi) = 0$ değerlerini alırız. Burada $0 \neq \pi$ olmasına rağmen, $\sin(0) = \sin(\pi)$'dir. Bu durum, fonksiyonun birebir olmadığını gösterir.

Yukarıdaki analizlere göre, sadece $f(x) = 2x + 3$ fonksiyonu birebirdir.

Cevap C seçeneğidir.