Fonksiyon çeşitleri (Birebir, Örten) Test 1

f: {1, 2, 3} → {a, b} fonksiyonu f(1)=a, f(2)=a, f(3)=b şeklinde tanımlanmıştır. Bu fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Sadece birebirdir
B) Sadece örtendir
C) Hem birebir hem örtendir
D) Ne birebir ne örtendir

Merhaba sevgili öğrenciler! Fonksiyonlarla ilgili bu soruyu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim. Bir fonksiyonun "birebir" ve "örten" olma özelliklerini hatırlayarak ilerleyeceğiz.

• Fonksiyonu Tanıyalım:
  • Bize verilen fonksiyon $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b\}$ şeklindedir.
  • Burada $\{1, 2, 3\}$ tanım kümesi, $\{a, b\}$ ise değer kümesidir.
  • Fonksiyonun tanımlanışı ise şöyledir: $f(1)=a$, $f(2)=a$, $f(3)=b$.
• Birebir (One-to-one) Fonksiyon Nedir?
  • Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesindeki farklı elemanların görüntülerinin de farklı olması gerekir. Yani, eğer $x_1 \neq x_2$ ise $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır.
  • Diğer bir deyişle, değer kümesindeki hiçbir eleman, tanım kümesindeki birden fazla elemanın görüntüsü olmamalıdır.
• Fonksiyonumuz Birebir mi?
  • Fonksiyonumuzun tanımlanışına bakalım: $f(1)=a$ ve $f(2)=a$.
  • Tanım kümesindeki $1$ ve $2$ elemanları birbirinden farklıdır ($1 \neq 2$).
  • Ancak bu iki farklı elemanın görüntüleri aynıdır ($f(1)=f(2)=a$).
  • Bu durum, birebir fonksiyon tanımına aykırıdır. Dolayısıyla, bu fonksiyon birebir değildir.
• Örten (Onto) Fonksiyon Nedir?
  • Bir fonksiyonun örten olması için, değer kümesindeki her elemanın, tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olması gerekir.
  • Yani, değer kümesinde boşta kalan hiçbir eleman olmamalıdır. Görüntü kümesi, değer kümesine eşit olmalıdır.
• Fonksiyonumuz Örten mi?
  • Fonksiyonumuzun değer kümesi $\{a, b\}$'dir.
  • Şimdi değer kümesindeki elemanların tanım kümesinden bir karşılığı olup olmadığına bakalım:
  • $a$ elemanı: $f(1)=a$ ve $f(2)=a$ olduğu için, $a$ elemanı tanım kümesindeki $1$ ve $2$ elemanlarının görüntüsüdür.
  • $b$ elemanı: $f(3)=b$ olduğu için, $b$ elemanı tanım kümesindeki $3$ elemanının görüntüsüdür.
  • Değer kümesindeki hiçbir eleman boşta kalmamıştır. Görüntü kümesi $\{a, b\}$ olup, değer kümesine eşittir.
  • Dolayısıyla, bu fonksiyon örtendir.
• Sonuç:
  • Fonksiyonumuz birebir değildir, ancak örtendir.
  • Bu durum seçeneklerde "Sadece örtendir" ifadesine karşılık gelmektedir.

Cevap B seçeneğidir.