Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen fonksiyonlardan hangisinin "birebir" (one-to-one) olmadığını bulmamız isteniyor. Öncelikle birebir fonksiyonun ne anlama geldiğini hatırlayalım:
- Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesindeki farklı her elemanın değer kümesinde farklı bir elemana eşlenmesi gerekir. Yani, eğer $x_1 \neq x_2$ ise, o zaman $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır.
- Bunu test etmenin bir diğer yolu da şudur: Eğer $f(x_1) = f(x_2)$ eşitliğini sağlayan her durumda $x_1 = x_2$ sonucuna ulaşıyorsak, fonksiyon birebirdir. Eğer $f(x_1) = f(x_2)$ iken $x_1 \neq x_2$ olabiliyorsa, fonksiyon birebir değildir.
- Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
A) $f: R \rightarrow R, f(x) = 3x - 7$
- Bu bir doğrusal fonksiyondur. Birebir olup olmadığını anlamak için $f(x_1) = f(x_2)$ kabul edelim:
- $3x_1 - 7 = 3x_2 - 7$
- Her iki tarafa $7$ eklersek: $3x_1 = 3x_2$
- Her iki tarafı $3$e bölersek: $x_1 = x_2$
- Gördüğümüz gibi, $f(x_1) = f(x_2)$ eşitliği sadece $x_1 = x_2$ olduğunda sağlanır. Bu yüzden bu fonksiyon birebirdir.
B) $f: R \rightarrow R, f(x) = x^3$
- Bu fonksiyonun birebir olup olmadığını anlamak için $f(x_1) = f(x_2)$ kabul edelim:
- $x_1^3 = x_2^3$
- Her iki tarafın küp kökünü alırsak: $\sqrt[3]{x_1^3} = \sqrt[3]{x_2^3}$
- Bu da bize $x_1 = x_2$ sonucunu verir. (Unutmayın, tek kuvvetler için bu her zaman geçerlidir; örneğin, $x^2$ olsaydı $x_1 = \pm x_2$ olabilirdi).
- Dolayısıyla, bu fonksiyon da birebirdir.
C) $f: R \rightarrow R, f(x) = |x|$
- Bu fonksiyonun birebir olup olmadığını anlamak için farklı $x$ değerlerinin aynı $f(x)$ değerini verip vermediğine bakalım.
- Örneğin, $x_1 = 2$ alalım. $f(2) = |2| = 2$.
- Şimdi $x_2 = -2$ alalım. $f(-2) = |-2| = 2$.
- Burada $x_1 = 2$ ve $x_2 = -2$ farklı değerler olmasına rağmen ($2 \neq -2$), fonksiyon değerleri aynıdır ($f(2) = f(-2) = 2$).
- Bu durum, birebir fonksiyon tanımına aykırıdır. Bu yüzden $f(x) = |x|$ fonksiyonu birebir değildir.
D) $f: R \rightarrow R, f(x) = 5x + 2$
- Bu da bir doğrusal fonksiyondur. Birebir olup olmadığını anlamak için $f(x_1) = f(x_2)$ kabul edelim:
- $5x_1 + 2 = 5x_2 + 2$
- Her iki taraftan $2$ çıkarırsak: $5x_1 = 5x_2$
- Her iki tarafı $5$e bölersek: $x_1 = x_2$
- Bu fonksiyon da birebirdir.
Yapılan incelemeler sonucunda, $f(x) = |x|$ fonksiyonunun birebir olmadığını bulduk.
Cevap C seçeneğidir.
