f: R → R, f(x) = x² fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Tüm gerçek sayılar
B) Pozitif gerçek sayılar
C) Negatif olmayan gerçek sayılar
D) Tam sayılar
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun görüntü kümesini bulmamız isteniyor. Görüntü kümesi, fonksiyonun tanım kümesindeki her bir elemanı fonksiyona yerleştirdiğimizde elde ettiğimiz tüm çıktı (sonuç) değerlerinin kümesidir. Şimdi adım adım bu fonksiyonun görüntü kümesini bulalım:
- Fonksiyonu Anlayalım: Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^2$. Bu fonksiyon, tanım kümesindeki her $x$ gerçek sayısını alıp, o sayının karesini alarak bir sonuç üretir. Tanım kümesi $R$ (tüm gerçek sayılar) olarak verilmiş.
- Değerleri Deneyelim: Fonksiyonun nasıl çalıştığını görmek için farklı $x$ değerleri verelim:
- Eğer $x$ pozitif bir sayıysa, örneğin $x=3$ ise, $f(3) = 3^2 = 9$.
- Eğer $x$ negatif bir sayıysa, örneğin $x=-3$ ise, $f(-3) = (-3)^2 = 9$. (Unutmayın, negatif bir sayının karesi pozitiftir!)
- Eğer $x$ sıfır ise, $f(0) = 0^2 = 0$.
- Eğer $x$ bir kesirli sayı ise, örneğin $x=0.5$ ise, $f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25$.
- Sonuçları Değerlendirelim: Gördüğümüz gibi, $x$ yerine hangi gerçek sayıyı koyarsak koyalım, $f(x) = x^2$ sonucunun asla negatif olmadığını fark ediyoruz. Bir gerçek sayının karesi her zaman sıfır veya sıfırdan büyük bir sayıdır. Yani, $x^2 \ge 0$ eşitsizliği her zaman geçerlidir.
- Minimum Değeri Bulalım: $x^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir? Bu değer, $x=0$ olduğunda $0^2=0$ olarak bulunur.
- Maksimum Değeri Bulalım: $x$ değerleri pozitif veya negatif yönde büyüdükçe, $x^2$ değerleri de büyür ve sonsuza kadar gidebilir. Örneğin, $f(100) = 10000$, $f(-1000) = 1000000$. Yani, üstten bir sınır yoktur.
- Görüntü Kümesini Belirleyelim: Tüm bu gözlemlerden yola çıkarak, $f(x) = x^2$ fonksiyonunun alabileceği tüm değerler $0$ ve $0$'dan büyük olan tüm gerçek sayılardır. Bu küme, matematiksel olarak $[0, \infty)$ şeklinde gösterilir ve "negatif olmayan gerçek sayılar" olarak adlandırılır.
- Seçenekleri İnceleyelim:
- A) Tüm gerçek sayılar: Yanlış, çünkü sonuçlar asla negatif olamaz.
- B) Pozitif gerçek sayılar: Yanlış, çünkü $f(0)=0$ değeri pozitif değildir ama görüntü kümesindedir.
- C) Negatif olmayan gerçek sayılar: Doğru, çünkü bu küme $0$ ve tüm pozitif gerçek sayıları içerir.
- D) Tam sayılar: Yanlış, çünkü $f(0.5) = 0.25$ gibi tam sayı olmayan değerler de görüntü kümesindedir.
Cevap C seçeneğidir.
