9. sınıf mutlak değer soruları ve çözümleri 50 tane örnekleri Test 1

|x + 2| = |x - 4| denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Yani, $ |a| = |b| $ denklemi, $a$ sayısının sıfıra olan uzaklığı ile $b$ sayısının sıfıra olan uzaklığının birbirine eşit olduğu anlamına gelir. Bu durumda iki temel olasılık vardır:

• Ya $a$ ve $b$ sayıları birbirine eşittir ($a = b$).
• Ya da $a$ ve $b$ sayıları birbirinin ters işaretlisidir ($a = -b$).

Şimdi bu bilgiyi kullanarak $ |x + 2| = |x - 4| $ denklemimizi adım adım çözelim:

• 1. Durum: İçerideki ifadeler birbirine eşit olabilir.

  Bu durumda, $ x + 2 = x - 4 $ denklemini kurarız.

  Denklemin her iki tarafından $x$ terimini çıkaralım:

  $ x + 2 - x = x - 4 - x $

  $ 2 = -4 $

  Bu ifade yanlıştır ($2$ asla $-4$'e eşit olamaz). Bu durum, $x$ için bu koşuldan bir çözüm gelmediğini gösterir.

• 2. Durum: İçerideki ifadeler birbirinin ters işaretlisi olabilir.

  Bu durumda, $ x + 2 = -(x - 4) $ denklemini kurarız.

  Öncelikle sağ taraftaki eksi işaretini parantez içine dağıtalım:

  $ x + 2 = -x + 4 $

  Şimdi $x$ terimlerini denklemin bir tarafına, sabit sayıları ise diğer tarafına toplayalım. Bunun için her iki tarafa $x$ ekleyelim:

  $ x + 2 + x = -x + 4 + x $

  $ 2x + 2 = 4 $

  Şimdi her iki taraftan $2$ çıkaralım:

  $ 2x + 2 - 2 = 4 - 2 $

  $ 2x = 2 $

  Son olarak, $x$'i yalnız bırakmak için her iki tarafı $2$'ye bölelim:

  $ rac{2x}{2} = rac{2}{2} $

  $ x = 1 $

Bu iki durumun incelenmesi sonucunda, denklemi sağlayan tek $x$ değerinin $1$ olduğunu bulduk.

Ek Bilgi: Geometrik Yorum

Mutlak değer denklemlerini sayı doğrusu üzerinde de düşünebiliriz. $ |x + 2| $ ifadesi, $x$ sayısının $-2$ noktasına olan uzaklığını temsil eder (çünkü $x+2 = x - (-2)$). Benzer şekilde, $ |x - 4| $ ifadesi, $x$ sayısının $4$ noktasına olan uzaklığını temsil eder.

Denklemimiz $ |x + 2| = |x - 4| $ olduğundan, bu, $x$ noktasının $-2$ noktasına olan uzaklığı ile $4$ noktasına olan uzaklığının eşit olduğu anlamına gelir. Yani $x$, sayı doğrusu üzerinde $-2$ ve $4$ noktalarının tam ortasında (orta noktası) yer almalıdır.

İki noktanın orta noktasını bulmak için bu noktaları toplar ve $2$'ye böleriz:

$ x = rac{-2 + 4}{2} $

$ x = rac{2}{2} $

$ x = 1 $

Gördüğünüz gibi, geometrik yorum da bize aynı sonucu verdi ve çözümümüzün doğruluğunu pekiştirdi.

Cevap A seçeneğidir.