tanx grafiği örnekleri Test 1

$y = tan(x)$ fonksiyonunun grafiği için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Grafik x eksenini kesmez.
B) Grafik y eksenini kesmez.
C) Grafik orijinden geçer.
D) Grafik daima pozitiftir.

Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün $y = \tan(x)$ fonksiyonunun grafiği ile ilgili bir soruyu adım adım inceleyeceğiz. Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini anlamak, matematikte çok önemlidir. Hazırsanız başlayalım!

• $y = \tan(x)$ fonksiyonunu hatırlayalım:

  Tanjant fonksiyonu, $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ olarak tanımlanır. Bu tanım, $\cos(x) = 0$ olduğu noktalarda (yani $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ için, burada $k$ bir tam sayıdır) fonksiyonun tanımsız olduğunu ve dikey asimptotları olduğunu gösterir.

• A) Grafik x eksenini kesmez.

  Bir grafik x eksenini kestiğinde, $y$ değeri $0$ olur. Yani, $\tan(x) = 0$ denkleminin çözümü olup olmadığını kontrol etmeliyiz.

  $\tan(x) = 0 \Rightarrow \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 0$. Bu durum ancak $\sin(x) = 0$ olduğunda gerçekleşir (tabii ki $\cos(x) \neq 0$ olmalıdır).

  $\sin(x) = 0$ denkleminin çözümleri $x = 0, \pm\pi, \pm2\pi, \dots$ yani $x = k\pi$ şeklindedir (burada $k$ bir tam sayıdır). Bu noktalarda $\cos(x)$ değeri $1$ veya $-1$ olduğundan, $\cos(x) \neq 0$ koşulu sağlanır.

  Dolayısıyla, $y = \tan(x)$ grafiği x eksenini birçok noktada keser (örneğin $(0,0)$, $(\pi,0)$, $(-\pi,0)$ gibi). Bu nedenle, A seçeneği yanlıştır.

• B) Grafik y eksenini kesmez.

  Bir grafik y eksenini kestiğinde, $x$ değeri $0$ olur. Yani, $x=0$ için $y$ değerini bulmalıyız.

  $y = \tan(0)$.

  $\tan(0) = \frac{\sin(0)}{\cos(0)} = \frac{0}{1} = 0$.

  Bu durumda, grafik y eksenini $(0,0)$ noktasında keser. Bu nedenle, B seçeneği yanlıştır.

• C) Grafik orijinden geçer.

  Orijin, koordinat sistemindeki $(0,0)$ noktasıdır. Az önce B seçeneğini incelerken bulduğumuz gibi, $x=0$ iken $y=0$ değerini alıyoruz. Yani, $(0,0)$ noktası $y = \tan(x)$ fonksiyonunun grafiği üzerindedir.

  Bu nedenle, C seçeneği doğrudur.

• D) Grafik daima pozitiftir.

  Bir fonksiyonun grafiğinin daima pozitif olması, tüm $x$ değerleri için $y > 0$ olması anlamına gelir.

  Tanjant fonksiyonunun değerlerini farklı bölgelerde inceleyelim:

  • $x = \frac{\pi}{4}$ için (1. bölge), $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. Bu pozitiftir.
  • $x = -\frac{\pi}{4}$ için (4. bölge), $\tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$. Bu negatiftir.
  • $x = \frac{3\pi}{4}$ için (2. bölge), $\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$. Bu negatiftir.

  Görüldüğü gibi, $\tan(x)$ fonksiyonu hem pozitif hem de negatif değerler alabilir. Bu nedenle, D seçeneği yanlıştır.

Yapılan analizler sonucunda, $y = \tan(x)$ fonksiyonunun grafiğinin orijinden geçtiği sonucuna ulaşıyoruz.

Cevap C seçeneğidir.