Rasyonel sayılar arasında karşılaştırma yaparken en kolay yöntem, tüm sayıları ortak bir paydaya (kesrin altındaki sayıya) getirmektir. Böylece sadece payları (kesrin üstündeki sayıları) karşılaştırarak hangi sayının daha büyük veya daha küçük olduğunu anlayabiliriz.
- Adım 1: Sınırları Ortak Paydada Yazma
- Öncelikle, bize verilen sınırları, yani $\frac{1}{2}$ ve $\frac{3}{4}$ sayılarını ortak bir paydada yazalım. Bu sayıların paydaları 2 ve 4'tür. En küçük ortak katları 4'tür. Ancak seçeneklerde 8 paydası da olduğu için, tüm sayıları 8 paydasında yazmak karşılaştırmayı daha kolay hale getirecektir.
- $\frac{1}{2}$ sayısını 8 paydasında yazmak için payını ve paydasını 4 ile çarparız: $\frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{4}{8}$
- $\frac{3}{4}$ sayısını 8 paydasında yazmak için payını ve paydasını 2 ile çarparız: $\frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$
- Şimdi sorumuz şu hale geldi: Hangi seçenek $\frac{4}{8}$ ile $\frac{6}{8}$ arasındadır? Yani, payı 4'ten büyük ve 6'dan küçük olan bir sayı arıyoruz.
- Adım 2: Seçenekleri Kontrol Etme
- Şimdi her bir seçeneği tek tek kontrol edelim ve onları da 8 paydasında veya 8 ile kolayca karşılaştırılabilecek bir paydada yazalım.
- A) $\frac{1}{3}$
- $\frac{1}{3}$ sayısını $\frac{4}{8}$ ile karşılaştıralım. Ortak payda olarak 24'ü kullanabiliriz (3 ve 8'in en küçük ortak katı).
- $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 8}{3 \times 8} = \frac{8}{24}$
- $\frac{4}{8} = \frac{4 \times 3}{8 \times 3} = \frac{12}{24}$
- Gördüğümüz gibi, $\frac{8}{24} < \frac{12}{24}$ olduğu için $\frac{1}{3}$ sayısı $\frac{1}{2}$'den (yani $\frac{4}{8}$'den) küçüktür. Bu yüzden aradığımız aralıkta değildir.
- B) $\frac{2}{5}$
- $\frac{2}{5}$ sayısını $\frac{4}{8}$ ile karşılaştıralım. Ortak payda olarak 40'ı kullanabiliriz (5 ve 8'in en küçük ortak katı).
- $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 8}{5 \times 8} = \frac{16}{40}$
- $\frac{4}{8} = \frac{4 \times 5}{8 \times 5} = \frac{20}{40}$
- Gördüğümüz gibi, $\frac{16}{40} < \frac{20}{40}$ olduğu için $\frac{2}{5}$ sayısı da $\frac{1}{2}$'den (yani $\frac{4}{8}$'den) küçüktür. Bu yüzden aradığımız aralıkta değildir.
- C) $\frac{5}{8}$
- Bu seçeneğin paydası zaten 8'dir. Şimdi bunu sınırlarımızla karşılaştıralım: $\frac{4}{8}$ ile $\frac{6}{8}$.
- $\frac{4}{8} < \frac{5}{8} < \frac{6}{8}$
- Evet, 5 sayısı 4'ten büyük ve 6'dan küçüktür. Bu durumda $\frac{5}{8}$ sayısı $\frac{1}{2}$ ile $\frac{3}{4}$ arasındadır.
- D) $\frac{7}{8}$
- Bu seçeneğin paydası da zaten 8'dir. Şimdi bunu sınırlarımızla karşılaştıralım: $\frac{4}{8}$ ile $\frac{6}{8}$.
- $\frac{7}{8}$ sayısı $\frac{6}{8}$'den büyüktür. Bu yüzden aradığımız aralıkta değildir.
Yukarıdaki adımları takip ettiğimizde, $\frac{5}{8}$ sayısının $\frac{1}{2}$ ile $\frac{3}{4}$ arasında yer aldığını buluruz.
Cevap C seçeneğidir.
