Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım, dikkatlice çözerek kesirli sayılarla üslü ifadelerin ve çıkarma işleminin nasıl yapıldığını pekiştirelim.
- Öncelikle, verilen işlemi iki ana parçaya ayıralım: birinci terim $\left(\frac{2}{3}\right)^3$ ve ikinci terim $\left(-\frac{1}{2}\right)^2$. Bu terimleri ayrı ayrı hesaplayıp sonra çıkarma işlemini yapacağız.
- Birinci Terimi Hesaplayalım: $\left(\frac{2}{3}\right)^3$
- Bir kesrin üssünü almak demek, hem payın hem de paydanın o üssünü almak demektir. Yani, $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ kuralını uygulayacağız.
- Bu durumda, $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3}$ olur.
- $2^3$ demek $2 \times 2 \times 2 = 8$ demektir.
- $3^3$ demek $3 \times 3 \times 3 = 27$ demektir.
- Dolayısıyla, birinci terim $\frac{8}{27}$ olarak bulunur.
- İkinci Terimi Hesaplayalım: $\left(-\frac{1}{2}\right)^2$
- Negatif bir sayının çift kuvvetini aldığımızda sonuç her zaman pozitif olur. Yani, $(-a)^2 = a^2$ kuralını hatırlayalım.
- Bu durumda, $\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$ olur.
- Yine kesrin üssünü alma kuralını uygulayalım: $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1^2}{2^2}$.
- $1^2$ demek $1 \times 1 = 1$ demektir.
- $2^2$ demek $2 \times 2 = 4$ demektir.
- Dolayısıyla, ikinci terim $\frac{1}{4}$ olarak bulunur.
- Şimdi Çıkarma İşlemini Yapalım: Elde ettiğimiz iki terimi yerine yazalım: $\frac{8}{27} - \frac{1}{4}$.
- Kesirli sayılarla çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. $27$ ve $4$ sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
- $27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$
- $4 = 2 \times 2 = 2^2$
- EKOK($27, 4$) $= 3^3 \times 2^2 = 27 \times 4 = 108$. Yani ortak payda $108$ olacaktır.
- İlk kesri, paydası $108$ olacak şekilde genişletelim: $\frac{8}{27}$. Paydayı $108$ yapmak için $27$'yi $4$ ile çarpmalıyız. O zaman payı da $4$ ile çarparız: $\frac{8 \times 4}{27 \times 4} = \frac{32}{108}$.
- İkinci kesri, paydası $108$ olacak şekilde genişletelim: $\frac{1}{4}$. Paydayı $108$ yapmak için $4$'ü $27$ ile çarpmalıyız. O zaman payı da $27$ ile çarparız: $\frac{1 \times 27}{4 \times 27} = \frac{27}{108}$.
- Şimdi çıkarma işlemini yapabiliriz: $\frac{32}{108} - \frac{27}{108}$.
- Paydalar eşit olduğu için payları çıkarırız: $\frac{32 - 27}{108} = \frac{5}{108}$.
- Sonuç olarak, işlemin sonucu $\frac{5}{108}$ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
