🎓 9. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 1 - Ders Notu
Sevgili öğrenciler, bu ders notu, 9. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı sınavınızda karşılaşabileceğiniz temel konuları özetlemektedir. Özellikle Kümeler, Denklemler ve Eşitsizlikler ile Oran-Orantı konularına odaklanarak, sınavda başarılı olmanız için gerekli anahtar bilgileri sade bir dille sunmayı amaçlıyoruz.
📌 Kümeler
Kümeler, belirli özellikleri taşıyan nesnelerin bir araya gelmesiyle oluşan topluluklardır. Matematikte bu topluluklar üzerinde çeşitli işlemler yaparız.
- Küme Tanımı: İyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğudur. Elemanları $A = \{a, b, c\}$ şeklinde gösterilir.
- Küme Çeşitleri: Boş küme ($\emptyset$ veya $\{\}$), sonlu küme, sonsuz küme, evrensel küme ($E$).
- Alt Küme: Bir $A$ kümesinin her elemanı aynı zamanda bir $B$ kümesinin de elemanı ise, $A$, $B$'nin alt kümesidir ($A \subseteq B$). $n$ elemanlı bir kümenin $2^n$ tane alt kümesi vardır.
- Eşit Kümeler: Elemanları tamamen aynı olan kümelerdir ($A = B$ ise).
💡 İpucu: Küme problemlerinde Venn şeması kullanmak, eleman sayılarını daha kolay görmenizi sağlar ve karışıklığı önler.
📌 Kümelerde İşlemler
Kümeler üzerinde dört temel işlem bulunur:
- Birleşim İşlemi ($A \cup B$): $A$ veya $B$ kümesindeki tüm elemanların oluşturduğu kümedir. Eleman sayısı için $s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)$ formülü kullanılır.
- Kesişim İşlemi ($A \cap B$): Hem $A$ hem de $B$ kümesinde ortak bulunan elemanların oluşturduğu kümedir.
- Fark İşlemi ($A \setminus B$ veya $A - B$): $A$ kümesinde olup $B$ kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümedir.
- Tümleme İşlemi ($A'$ veya $\overline{A}$): Evrensel kümede ($E$) olup $A$ kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümedir. $s(A) + s(A') = s(E)$ bağıntısı vardır.
⚠️ Dikkat: Birleşim ve kesişim işlemlerinde De Morgan Kuralları'nı unutmayın: $(A \cup B)' = A' \cap B'$ ve $(A \cap B)' = A' \cup B'$.
📌 Gerçek Sayılar (Reel Sayılar)
Matematikte kullandığımız sayı kümelerinin en genişidir. Rasyonel ve İrrasyonel sayıları kapsar.
- Rasyonel Sayılar ($Q$): $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $ rac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Örnek: $ rac{1}{2}$, $-3$, $0.75$.
- İrrasyonel Sayılar ($I$ veya $Q'$): Rasyonel olmayan sayılardır. Yani $ rac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan sayılardır. Örnek: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$.
- Sayı Kümeleri İlişkisi: $N \subset Z \subset Q \subset R$ ve $Q \cup I = R$.
📌 Birinci Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler
$ax+b=0$ şeklindeki denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.
- Denklem Çözümü: Bilinmeyeni ($x$) yalnız bırakarak çözüm kümesini buluruz. Amaç, eşitliğin her iki tarafına da aynı işlemi uygulayarak $x$'i izole etmektir.
- Eşitsizlikler: $<, >, \le, \ge$ sembollerini içeren ifadelerdir. Denklem çözümü gibi yapılır, ancak eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
💡 İpucu: Denklem kurma problemlerinde verilen bilgileri dikkatlice okuyun ve bilinmeyeni doğru atayın. Genellikle "bir sayının" dendiğinde bu sayıya $x$ diyerek başlayabilirsiniz.
📌 Mutlak Değer
Bir sayının sıfıra olan uzaklığına mutlak değer denir ve $|x|$ ile gösterilir. Mutlak değer asla negatif olamaz.
- Tanım: $x \ge 0$ ise $|x| = x$; $x < 0$ ise $|x| = -x$.
- Mutlak Değerli Denklemler: $|ax+b| = c$ ise, $ax+b = c$ veya $ax+b = -c$ şeklinde iki ayrı denklem çözülür (eğer $c \ge 0$).
- Mutlak Değerli Eşitsizlikler:
- $|x| < a$ ise $-a < x < a$.
- $|x| > a$ ise $x > a$ veya $x < -a$.
⚠️ Dikkat: Mutlak değerli denklemlerde bulduğunuz çözümleri mutlaka orijinal denklemde yerine koyarak kontrol edin. Bazen "sağlamayan" kökler çıkabilir.
📌 Üslü Sayılar
Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımının kısa gösterimidir. $a^n$ şeklinde ifade edilir.
- Temel Özellikler:
- Çarpma: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
- Bölme: $ rac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
- Üssün Üssü: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
- Negatif Üs: $a^{-n} = rac{1}{a^n}$
- Sıfırıncı Üs: $a^0 = 1$ ( $a \ne 0$ için)
- Üslü Denklemler: Tabanlar eşitse üsler de eşittir ($a^x = a^y \implies x = y$). Üsler eşitse tabanlar eşit olabilir, ya da tabanlar birbirinin ters işaretlisi olabilir (üs çift ise).
📌 Köklü Sayılar
Bir sayının hangi sayının kuvveti olduğunu bulma işlemidir. $\sqrt[n]{a}$ şeklinde gösterilir.
- Kareköklü Sayılar ($\sqrt{a}$): $a \ge 0$ olmak üzere, karesi $a$ olan pozitif sayıdır.
- Genel Köklü Sayılar ($\sqrt[n]{a}$): $n$. kuvveti $a$ olan sayıdır. Eğer $n$ çift ise $a \ge 0$ olmalıdır.
- Özellikler:
- $\sqrt[n]{a^m} = a^{ rac{m}{n}}$ (Üslü sayıya çevirme)
- $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
- $\sqrt[n]{ rac{a}{b}} = rac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
- Kök dışına çıkarma: $\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$
- Paydayı Rasyonel Yapma: Paydada köklü ifade varsa, eşleniği ile çarpılarak payda rasyonel yapılır. Örnek: $ rac{1}{\sqrt{a}} = rac{\sqrt{a}}{a}$.
💡 İpucu: Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içlerinin ve kök derecelerinin aynı olması gerekir.
📌 Oran ve Orantı
İki çokluğun birbirine bölünmesine oran, iki oranın eşitliğine ise orantı denir.
- Oran: $a$'nın $b$'ye oranı $ rac{a}{b}$ veya $a:b$ şeklinde gösterilir.
- Orantı: $ rac{a}{b} = rac{c}{d}$ veya $a:b = c:d$ şeklinde gösterilir. Burada $k$ orantı sabiti olmak üzere $a=bk$ ve $c=dk$ diyebiliriz.
- Doğru Orantı: İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa doğru orantılıdır. $y = kx$ şeklindedir.
- Ters Orantı: İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa veya biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa ters orantılıdır. $y = rac{k}{x}$ veya $x \cdot y = k$ şeklindedir.
⚠️ Dikkat: Oran-orantı problemlerinde doğru orantılı değişkenleri bölerek, ters orantılı değişkenleri ise çarparak orantı sabitini bulabilirsiniz.
