Aşağıdaki eşitliklerden hangisi çarpma işleminin birleşme özelliğini gösterir?
A) $a \cdot b = b \cdot a$
B) $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$
C) $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$
D) $a + 0 = a$
E) $a \cdot 1 = a$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, çarpma işleminin temel özelliklerinden biri olan birleşme özelliğini hangi seçeneğin gösterdiğini bulmamız isteniyor. Gelin, her bir seçeneği tek tek inceleyelim ve hangi özelliğe karşılık geldiğini öğrenelim.
- Birleşme Özelliği (Associative Property) Nedir?
Birleşme özelliği, üç veya daha fazla sayıyı çarparken (veya toplarken) sayıların gruplandırılma şeklinin (yani parantezlerin yerinin) sonucu değiştirmediğini ifade eder. Çarpma işlemi için, hangi iki sayıyı önce çarptığınızın sonucun değişmesine neden olmadığını gösterir.
- A) $a \cdot b = b \cdot a$
Bu eşitlik, çarpma işleminin değişme özelliğini (commutative property) gösterir. Değişme özelliği, sayıların yerlerinin değiştirilmesinin çarpma işleminin sonucunu etkilemediğini söyler. Örneğin, $3 \cdot 5 = 15$ ve $5 \cdot 3 = 15$.
- B) $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$
Bu eşitlik, çarpma işleminin birleşme özelliğini (associative property) gösterir. Bu özellik, üç sayıyı çarparken hangi ikisini önce çarptığınızın (parantez içindeki işlemlerin) sonucu değiştirmediğini ifade eder. Örneğin, $2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 = 24$ ve $(2 \cdot 3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$. Gördüğünüz gibi sonuç aynıdır.
- C) $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$
Bu eşitlik, çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğini (distributive property) gösterir. Bu özellik, bir sayının bir toplamla çarpımının, o sayının toplamdaki her terimle ayrı ayrı çarpımlarının toplamına eşit olduğunu söyler. Örneğin, $2 \cdot (3+4) = 2 \cdot 7 = 14$ ve $2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 6 + 8 = 14$.
- D) $a + 0 = a$
Bu eşitlik, toplama işleminin etkisiz eleman (identity element) özelliğini gösterir. Toplama işleminde etkisiz eleman $0$'dır, çünkü herhangi bir sayıya $0$ eklemek sayının değerini değiştirmez.
- E) $a \cdot 1 = a$
Bu eşitlik, çarpma işleminin etkisiz eleman (identity element) özelliğini gösterir. Çarpma işleminde etkisiz eleman $1$'dir, çünkü herhangi bir sayıyı $1$ ile çarpmak sayının değerini değiştirmez.
Yukarıdaki açıklamalara göre, çarpma işleminin birleşme özelliğini gösteren eşitlik B seçeneğinde verilmiştir.
Cevap B seçeneğidir.
