$ a, b, c $ birer gerçek sayı olmak üzere, $ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c $ eşitliği aşağıdaki özelliklerden hangisini ifade eder?
A) Değişme özelliği
B) Birleşme özelliği
C) Dağılma özelliği
D) Etkisiz eleman özelliği
E) Ters eleman özelliği
Sevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen eşitliğin hangi matematiksel özelliği ifade ettiğini bulmamız isteniyor. Eşitliği dikkatlice inceleyelim ve seçenekleri tek tek değerlendirelim.
- Verilen eşitlik: $ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c $
- Bu eşitlik, bir sayının ($a$) iki sayının toplamıyla ($b+c$) çarpımının, o sayının diğer iki sayıyla ayrı ayrı çarpımlarının ($a \cdot b$ ve $a \cdot c$) toplamına eşit olduğunu gösterir. Yani çarpma işleminin toplama işlemi üzerine nasıl etki ettiğini anlatır.
- Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) Değişme özelliği: Bu özellik, bir işlemde sayıların yerlerinin değiştirilmesinin sonucu değiştirmeyeceğini ifade eder. Örneğin, toplama için $ a+b = b+a $ veya çarpma için $ a \cdot b = b \cdot a $. Verilen eşitlikte sayıların yerleri değil, çarpma işleminin toplama işlemi üzerindeki etkisi gösterilmiştir. Bu nedenle A seçeneği doğru değildir.
- B) Birleşme özelliği: Bu özellik, bir işlemde sayıların gruplandırılmasının (parantezlerin yerinin) sonucu değiştirmeyeceğini ifade eder. Örneğin, toplama için $ (a+b)+c = a+(b+c) $ veya çarpma için $ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $. Verilen eşitlikte gruplandırma değil, çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılması söz konusudur. Bu nedenle B seçeneği doğru değildir.
- C) Dağılma özelliği: Bu özellik, bir işlemin (genellikle çarpma) başka bir işlem (genellikle toplama veya çıkarma) üzerine nasıl dağıldığını gösterir. Tam olarak verilen eşitlikteki gibi, bir sayının bir toplamla çarpımı, o sayının toplamdaki her terimle ayrı ayrı çarpılıp sonuçların toplanmasıyla aynıdır: $ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c $. Bu, verilen eşitliğin tam tanımıdır.
- D) Etkisiz eleman özelliği: Bu özellik, bir işlemde sonucun değişmemesini sağlayan özel bir elemanın varlığını ifade eder. Toplama işleminde etkisiz eleman $0$'dır ($ a+0 = a $), çarpma işleminde ise $1$'dir ($ a \cdot 1 = a $). Verilen eşitlikte etkisiz elemanlardan bahsedilmemektedir. Bu nedenle D seçeneği doğru değildir.
- E) Ters eleman özelliği: Bu özellik, bir sayının bir işlemle birleştiğinde etkisiz elemanı veren başka bir sayının varlığını ifade eder. Toplama işleminde $a$'nın tersi $ -a $'dır ($ a+(-a) = 0 $), çarpma işleminde ise $a$'nın tersi $ 1/a $'dır ($ a \cdot (1/a) = 1 $, $ a \neq 0 $). Verilen eşitlikte ters elemanlardan bahsedilmemektedir. Bu nedenle E seçeneği doğru değildir.
Yukarıdaki açıklamalara göre, verilen $ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c $ eşitliği, çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğini ifade etmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
