$ f(x) = x $ fonksiyonundan türetilen $ g(x) = -2f(x+1) + 3 $ fonksiyonunun grafiği için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Eğimi pozitif, y eksenini pozitif tarafta keser.
B) Eğimi negatif, y eksenini pozitif tarafta keser.
C) Eğimi pozitif, y eksenini negatif tarafta keser.
D) Eğimi negatif, y eksenini negatif tarafta keser.
E) Orijinden geçer.
Bu soruyu çözmek için, öncelikle verilen $f(x)$ fonksiyonunu kullanarak $g(x)$ fonksiyonunun açık denklemini bulmalı, ardından bu denklemin eğimini ve y eksenini kestiği noktayı belirlemeliyiz.
- Adım 1: Temel Fonksiyonu Anlayalım
Bize verilen temel fonksiyon $f(x) = x$'tir. Bu, birim fonksiyon olarak da bilinen, grafiği orijinden geçen ve eğimi $1$ olan bir doğru denklemidir.
- Adım 2: $g(x)$ Fonksiyonunu Türetelim
$g(x)$ fonksiyonu, $f(x)$ fonksiyonundan $g(x) = -2f(x+1) + 3$ şeklinde türetilmiştir. Şimdi $f(x) = x$ ifadesini bu dönüşümde yerine koyalım:
- Önce $f(x+1)$ ifadesini bulalım. $f(x) = x$ olduğu için, $x$ yerine $(x+1)$ yazarsak $f(x+1) = (x+1)$ olur.
- Şimdi bu ifadeyi $g(x)$ denkleminde yerine koyalım:
$g(x) = -2(x+1) + 3$
- Adım 3: $g(x)$ Fonksiyonunu Sadeleştirelim
Elde ettiğimiz $g(x)$ denklemini cebirsel olarak sadeleştirelim:
- Parantezi dağıtalım: $g(x) = -2x - 2 + 3$
- Sabit terimleri toplayalım: $g(x) = -2x + 1$
Artık $g(x)$ fonksiyonunun açık denklemini $g(x) = -2x + 1$ olarak bulduk. Bu, $y = mx + b$ formunda bir doğrusal fonksiyondur.
- Adım 4: $g(x)$ Fonksiyonunun Eğimi ve Y-eksenini Kestiği Noktayı Belirleyelim
Bir doğrusal fonksiyon $y = mx + b$ şeklinde yazıldığında:
- $m$ eğimi temsil eder.
- $b$ ise doğrunun y eksenini kestiği noktayı (y-kesen) temsil eder.
Bizim $g(x) = -2x + 1$ denklemimizde:
- Eğim $m = -2$'dir.
- Y-eksenini kestiği nokta $b = 1$'dir.
- Adım 5: Eğimi ve Y-eksenini Kestiği Noktayı Yorumlayalım
- Eğim: Eğim $m = -2$ olduğu için, eğim negatiftir. Negatif eğimli bir doğru, soldan sağa doğru aşağıya iner.
- Y-eksenini Kestiği Nokta: Y-eksenini kestiği nokta $b = 1$ olduğu için, bu nokta y ekseninin pozitif tarafındadır (yani $(0, 1)$ noktasında keser).
- Adım 6: Seçenekleri Değerlendirelim
Bulduğumuz sonuçlara göre:
- Eğim negatif.
- Y eksenini pozitif tarafta keser.
Bu özelliklere uyan seçenek B'dir.
Cevap B seçeneğidir.
