9. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 2. senaryo Test 5

Bir $ABC$ üçgeninde $D$ noktası $BC$ kenarı üzerindedir. $ m(\hat{B}) = 60^{\circ} $, $ m(\hat{C}) = 40^{\circ} $ ve $ m(\hat{BAD}) = 20^{\circ} $ olduğuna göre, $ AB, AC, AD, BD, CD $ kenar uzunluklarından en büyüğü aşağıdakilerden hangisidir?

A) $ AB $
B) $ AC $
C) $ AD $
D) $ BD $
E) $ CD $

Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde bir üçgenin kenar uzunluklarını açı değerlerine göre karşılaştırmamız isteniyor. Geometride, bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında ise küçük kenar bulunur kuralını kullanarak bu soruyu kolayca çözebiliriz. Haydi adım adım ilerleyelim!

• Adım 1: Üçgenlerdeki Tüm Açıları Bulalım

  Öncelikle, verilen $ABC$ üçgenindeki ve $D$ noktasının oluşturduğu diğer üçgenlerdeki tüm açıları hesaplayalım.

  • Büyük $ABC$ üçgeninde: $ m(\hat{B}) = 60^{\circ} $ ve $ m(\hat{C}) = 40^{\circ} $ olarak verilmiş. Üçgenin iç açıları toplamı $180^{\circ}$ olduğundan, $ m(\hat{A}) = 180^{\circ} - m(\hat{B}) - m(\hat{C}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 40^{\circ} = 80^{\circ} $ olur.
  • $ m(\hat{BAD}) = 20^{\circ} $ olarak verilmiş. Bu durumda, $ m(\hat{CAD}) = m(\hat{A}) - m(\hat{BAD}) = 80^{\circ} - 20^{\circ} = 60^{\circ} $ olur.
  • Şimdi $ABD$ üçgenindeki açıları bulalım: $ m(\hat{B}) = 60^{\circ} $ ve $ m(\hat{BAD}) = 20^{\circ} $. $ m(\hat{ADB}) = 180^{\circ} - m(\hat{B}) - m(\hat{BAD}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 20^{\circ} = 100^{\circ} $.
  • Son olarak $ADC$ üçgenindeki açıları bulalım: $ m(\hat{C}) = 40^{\circ} $ ve $ m(\hat{CAD}) = 60^{\circ} $. $ m(\hat{ADC}) = 180^{\circ} - m(\hat{C}) - m(\hat{CAD}) = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 60^{\circ} = 80^{\circ} $. (Dikkat ederseniz, $ m(\hat{ADB}) + m(\hat{ADC}) = 100^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ} $, bu da $D$ noktasının $BC$ kenarı üzerinde olduğunu doğrular.)

• Adım 2: Her Bir Üçgende Kenar Uzunluklarını Karşılaştıralım

  Bir üçgende, büyük açının karşısındaki kenar daha uzundur.

  • $ABC$ Üçgeninde: Açılar: $ m(\hat{A}) = 80^{\circ} $, $ m(\hat{B}) = 60^{\circ} $, $ m(\hat{C}) = 40^{\circ} $. Karşılarındaki kenarlar: $BC$, $AC$, $AB$. Bu durumda, $ BC > AC > AB $ ilişkisi vardır. (Buradan $ AC > AB $ sonucunu çıkarırız.)
  • $ABD$ Üçgeninde: Açılar: $ m(\hat{ADB}) = 100^{\circ} $, $ m(\hat{B}) = 60^{\circ} $, $ m(\hat{BAD}) = 20^{\circ} $. Karşılarındaki kenarlar: $AB$, $AD$, $BD$. Bu durumda, $ AB > AD > BD $ ilişkisi vardır.
  • $ADC$ Üçgeninde: Açılar: $ m(\hat{ADC}) = 80^{\circ} $, $ m(\hat{CAD}) = 60^{\circ} $, $ m(\hat{C}) = 40^{\circ} $. Karşılarındaki kenarlar: $AC$, $CD$, $AD$. Bu durumda, $ AC > CD > AD $ ilişkisi vardır.

• Adım 3: Tüm Kenar Uzunluklarını Karşılaştırarak En Büyüğünü Bulalım

  Şimdi elde ettiğimiz eşitsizlikleri birleştirelim:

  • $AC$ ve $AB$ arasında: $ AC > AB $ (çünkü $ m(\hat{B}) = 60^{\circ} > m(\hat{C}) = 40^{\circ} $)
  • $AB$ ve $AD$ arasında: $ AB > AD $ (çünkü $ m(\hat{ADB}) = 100^{\circ} > m(\hat{B}) = 60^{\circ} $)
  • $AD$ ve $BD$ arasında: $ AD > BD $ (çünkü $ m(\hat{B}) = 60^{\circ} > m(\hat{BAD}) = 20^{\circ} $)

  Bu üç eşitsizliği birleştirirsek: $ AC > AB > AD > BD $ sonucunu elde ederiz.

  • Şimdi $AC$ ile $CD$ ve $AD$ arasındaki ilişkiye bakalım: $AC$ ve $CD$ arasında: $ AC > CD $ (çünkü $ m(\hat{ADC}) = 80^{\circ} > m(\hat{CAD}) = 60^{\circ} $)
  • $CD$ ve $AD$ arasında: $ CD > AD $ (çünkü $ m(\hat{CAD}) = 60^{\circ} > m(\hat{C}) = 40^{\circ} $)

  Bu iki eşitsizliği birleştirirsek: $ AC > CD > AD $ sonucunu elde ederiz.

  Tüm bu karşılaştırmaları bir araya getirdiğimizde:

  • $AC$ hem $AB$'den hem de $CD$'den daha büyüktür.
  • $AB$ ve $CD$ ise $AD$'den daha büyüktür.
  • $AD$ ise $BD$'den daha büyüktür.

  Bu durumda, verilen $ AB, AC, AD, BD, CD $ kenar uzunlukları arasında en büyüğü kesinlikle $AC$ kenarıdır.

Cevap B seçeneğidir.