🎓 11. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, 11. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı sınavının 5. senaryosunda karşılaşabileceğin temel trigonometri ve denklemler konularını sade bir dille özetlemektedir. Sınavda başarılı olmak için bu konuları iyi kavramak önemlidir.
📌 Trigonometrik Fonksiyonlar ve Grafikleri
Trigonometrik fonksiyonlar, birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile açılar arasındaki ilişkiyi ifade eder. Özellikle sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyotları ve grafikleri sıkça karşımıza çıkar.
- Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları: Tanım kümeleri tüm reel sayılar ($\mathbb{R}$), değer kümeleri $[-1, 1]$ aralığıdır. Periyotları $2\pi$'dir.
- Tanjant Fonksiyonu: Tanım kümesi, $k \in \mathbb{Z}$ olmak üzere $\frac{\pi}{2} + k\pi$ dışındaki tüm reel sayılar, değer kümesi $\mathbb{R}$'dir. Periyodu $\pi$'dir.
- Kotanjant Fonksiyonu: Tanım kümesi, $k \in \mathbb{Z}$ olmak üzere $k\pi$ dışındaki tüm reel sayılar, değer kümesi $\mathbb{R}$'dir. Periyodu $\pi$'dir.
- Genel Periyot Bulma: $f(x) = a \cdot \sin(bx+c) + d$ veya $f(x) = a \cdot \cos(bx+c) + d$ şeklindeki fonksiyonların periyodu $T = \frac{2\pi}{|b|}$'dir. Tanjant ve kotanjant için ise $T = \frac{\pi}{|b|}$'dir.
💡 İpucu: Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini çizerken periyot ve kritik noktaları (sıfır, maksimum, minimum değerler) belirlemek işini kolaylaştırır.
📌 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Ters trigonometrik fonksiyonlar, trigonometrik fonksiyonların belirli aralıklardaki tersleridir. Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant veya kotanjant değerini bildiğimizde, o açıyı bulmamızı sağlarlar.
- Arcsin (Yay Sinüs): $\arcsin x = y \iff \sin y = x$. Tanım kümesi $[-1, 1]$, değer kümesi $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$'dir.
- Arccos (Yay Kosinüs): $\arccos x = y \iff \cos y = x$. Tanım kümesi $[-1, 1]$, değer kümesi $[0, \pi]$'dir.
- Arctan (Yay Tanjant): $\arctan x = y \iff \tan y = x$. Tanım kümesi $\mathbb{R}$, değer kümesi $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$'dir.
- Arccot (Yay Kotanjant): $\operatorname{arccot} x = y \iff \cot y = x$. Tanım kümesi $\mathbb{R}$, değer kümesi $(0, \pi)$'dir.
⚠️ Dikkat: Ters trigonometrik fonksiyonların değer kümeleri, fonksiyonların birebir ve örten olduğu aralıklar olduğu için çok önemlidir. Örneğin, $\arcsin(\frac{1}{2})$'nin cevabı sadece $\frac{\pi}{6}$'dır, $\frac{5\pi}{6}$ değildir.
📌 Toplam-Fark Formülleri
İki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerlerini, bu açıların ayrı ayrı trigonometrik değerleri cinsinden ifade etmemizi sağlayan formüllerdir.
- Sinüs Toplam-Fark:
- $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
- $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$
- Kosinüs Toplam-Fark:
- $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
- $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
- Tanjant Toplam-Fark:
- $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
- $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$
💡 İpucu: Bu formüller, özel açılar dışındaki açıların (örneğin $75^\circ$, $105^\circ$) trigonometrik değerlerini bulmak için çok kullanışlıdır. Örneğin, $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ)$ şeklinde yazılabilir.
📌 Yarım Açı Formülleri
Bir açının yarısının trigonometrik değerlerini, açının kendisinin trigonometrik değerleri cinsinden ifade etmemizi sağlayan formüllerdir. Toplam-fark formüllerinden türetilirler (A=B alınarak).
- Sinüs Yarım Açı: $\sin(2A) = 2 \sin A \cos A$
- Kosinüs Yarım Açı:
- $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$
- $\cos(2A) = 2 \cos^2 A - 1$
- $\cos(2A) = 1 - 2 \sin^2 A$
- Tanjant Yarım Açı: $\tan(2A) = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$
⚠️ Dikkat: Yarım açı formülleri, trigonometrik denklemleri çözerken veya ifadeleri sadeleştirirken sıkça kullanılır. Hangi kosinüs yarım açı formülünü kullanacağın, sorudaki diğer terimlere göre değişebilir.
📌 Trigonometrik Denklemler
İçinde trigonometrik fonksiyonlar ve bilinmeyen açılar bulunan denklemlerdir. Denklemi sağlayan açı değerlerini (genellikle belirli bir aralıkta veya genel çözüm olarak) bulmak hedeflenir.
- $\sin x = a$ Denklemi: Eğer $-1 \le a \le 1$ ise, $x_1 = \alpha + 2k\pi$ veya $x_2 = (\pi - \alpha) + 2k\pi$ (burada $\alpha$, $\sin \alpha = a$ eşitliğini sağlayan ilk açıdır ve genellikle $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ aralığından seçilir).
- $\cos x = a$ Denklemi: Eğer $-1 \le a \le 1$ ise, $x_1 = \alpha + 2k\pi$ veya $x_2 = -\alpha + 2k\pi$ (burada $\alpha$, $\cos \alpha = a$ eşitliğini sağlayan ilk açıdır ve genellikle $[0, \pi]$ aralığından seçilir).
- $\tan x = a$ Denklemi: $x = \alpha + k\pi$ (burada $\alpha$, $\tan \alpha = a$ eşitliğini sağlayan ilk açıdır ve genellikle $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ aralığından seçilir).
- $\cot x = a$ Denklemi: $x = \alpha + k\pi$ (burada $\alpha$, $\cot \alpha = a$ eşitliğini sağlayan ilk açıdır ve genellikle $(0, \pi)$ aralığından seçilir).
- Dönüşüm Gerektiren Denklemler: Bazen denklemde farklı trigonometrik fonksiyonlar veya farklı açılar bulunabilir. Bu durumda toplam-fark, yarım açı formülleri veya özdeşlikler kullanılarak denklem tek bir fonksiyona veya açının trigonometrik değerine indirgenmeye çalışılır. Örneğin, $\sin 2x = \cos x$ denkleminde $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ yazılarak denklem çözülebilir.
📝 Unutma: Trigonometrik denklemleri çözerken, genel çözüm kümesini yazmayı ve istenen aralıktaki kökleri bulmayı unutma. $k \in \mathbb{Z}$ ifadesi, tüm tam sayı değerlerini kapsar.
