Aşağıdakilerden hangisi boş kümedir?
A) \{0\}
B) \{\varnothing\}
C) \{x : x^2 + 1 = 0, x \in \mathbb{R}\}
D) \{x : x + 2 = 5, x \in \mathbb{Z}\}
E) \{x : x < 5, x \in \mathbb{N}\}
Boş küme, içinde hiç eleman bulundurmayan kümedir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $\{0\}$: Bu küme, içinde '0' elemanını bulundurur. Dolayısıyla boş küme değildir.
- B) $\{\varnothing\}$: Bu küme, içinde boş küme sembolü olan '$\varnothing$' elemanını bulundurur. Bu nedenle boş küme değildir. Boş küme sembolü de olsa, bir elemanı olduğu için boş küme olamaz.
- C) $\{x : x^2 + 1 = 0, x \in \mathbb{R}\}$: Bu küme, $x^2 + 1 = 0$ denklemini sağlayan ve reel sayılar kümesine ait olan $x$ değerlerini içerir. Ancak, reel sayılarda $x^2 + 1 = 0$ denkleminin bir çözümü yoktur. Çünkü herhangi bir reel sayının karesi negatif olamaz ve dolayısıyla karesine 1 eklediğimizde 0 elde edemeyiz. Bu nedenle bu küme boş kümedir.
- D) $\{x : x + 2 = 5, x \in \mathbb{Z}\}$: Bu küme, $x + 2 = 5$ denklemini sağlayan ve tam sayılar kümesine ait olan $x$ değerlerini içerir. Bu denklemi çözdüğümüzde $x = 3$ bulunur ve 3 bir tam sayıdır. Dolayısıyla bu küme $\{3\}$ kümesine eşittir ve boş küme değildir.
- E) $\{x : x < 5, x \in \mathbb{N}\}$: Bu küme, 5'ten küçük olan doğal sayıları içerir. Bu sayılar 0, 1, 2, 3 ve 4'tür. Dolayısıyla bu küme $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ kümesine eşittir ve boş küme değildir.
Bu analizlere göre, boş küme olan seçenek C seçeneğidir.
Cevap C seçeneğidir.
