11. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 4

Analitik düzlemde $A(3, -1)$ ve $B(-2, 4)$ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) $5$
B) $5\sqrt{2}$
C) $5\sqrt{3}$
D) $10$
E) $13$

Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için özel bir formül kullanırız. Bu formül, aslında Pisagor Teoremi'nin bir uygulamasıdır.

• 1. Uzaklık Formülünü Hatırlayalım:

  Analitik düzlemde $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ gibi iki nokta arasındaki uzaklık $d$ aşağıdaki formülle bulunur:

  $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

• 2. Noktaların Koordinatlarını Belirleyelim:

  Bize verilen noktalar $A(3, -1)$ ve $B(-2, 4)$'tür.

  Buradan $x_1 = 3$, $y_1 = -1$ ve $x_2 = -2$, $y_2 = 4$ olarak alabiliriz.

• 3. Koordinatları Formülde Yerine Koyalım:

  Şimdi bu değerleri uzaklık formülüne yerleştirelim:

  $d = \sqrt{((-2) - 3)^2 + (4 - (-1))^2}$

• 4. İşlemleri Yapalım:

  Önce parantez içindeki çıkarma işlemlerini yapalım:

  $(-2) - 3 = -5$

  $4 - (-1) = 4 + 1 = 5$

  Şimdi bu sonuçların karelerini alalım:

  $(-5)^2 = 25$

  $(5)^2 = 25$

  Bu kareleri toplayalım:

  $25 + 25 = 50$

  Son olarak karekökünü alalım:

  $d = \sqrt{50}$

• 5. Sonucu Sadeleştirelim:

  $\sqrt{50}$ ifadesini sadeleştirebiliriz. $50 = 25 \times 2$ olduğu için:

  $d = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

  Yani, $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık $5\sqrt{2}$ birimdir.

Cevap B seçeneğidir.