Sevgili öğrenciler, bu soruda analitik düzlemde bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözmek için özel bir formül kullanırız. Şimdi adım adım bu formülü hatırlayalım ve uygulayalım.
- 1. Adım: Noktanın Doğruya Uzaklık Formülünü Hatırlayalım
- Analitik düzlemde $P(x_0, y_0)$ noktasının $Ax + By + C = 0$ doğrusuna olan uzaklığı $d$ aşağıdaki formülle bulunur:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
- 2. Adım: Verilen Bilgileri Belirleyelim
- Bize verilen nokta $A(1, 2)$'dir. Yani $x_0 = 1$ ve $y_0 = 2$.
- Bize verilen doğru denklemi $3x - 4y + 5 = 0$'dır. Bu denklemden $A = 3$, $B = -4$ ve $C = 5$ değerlerini alırız.
- 3. Adım: Değerleri Formülde Yerine Koyalım
- Şimdi belirlediğimiz değerleri uzaklık formülünde yerine yazalım:
$d = \frac{|3(1) + (-4)(2) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
- 4. Adım: Pay Kısmını Hesaplayalım
- Pay kısmındaki mutlak değer ifadesini hesaplayalım:
$|3(1) + (-4)(2) + 5| = |3 - 8 + 5|$
$|3 - 8 + 5| = |-5 + 5|$
$|-5 + 5| = |0|$
$|0| = 0$
- 5. Adım: Payda Kısmını Hesaplayalım
- Payda kısmındaki karekök ifadesini hesaplayalım:
$\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16}$
$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$
$\sqrt{25} = 5$
- 6. Adım: Uzaklığı Bulalım
- Şimdi pay ve payda değerlerini yerine koyarak uzaklığı hesaplayalım:
$d = \frac{0}{5}$
$d = 0$
- 7. Adım: Sonucu Yorumlayalım
- Uzaklığın $0$ birim olması, $A(1, 2)$ noktasının $3x - 4y + 5 = 0$ doğrusunun üzerinde olduğunu gösterir. Bunu sağlamasını yapmak için noktanın koordinatlarını doğru denkleminde yerine koyabiliriz:
$3(1) - 4(2) + 5 = 3 - 8 + 5 = -5 + 5 = 0$. Gördüğümüz gibi denklem sağlanıyor, yani nokta doğrunun üzerindedir.
Bu durumda noktanın doğruya olan uzaklığı $0$ birimdir.
Cevap A seçeneğidir.
