Bu soruda, noktalı kağıtta verilen PAT üçgeni ile ilgili üç ifadeyi değerlendirmemiz isteniyor. Üçgenin özelliklerini belirlemek için öncelikle köşe noktalarının konumlarını ve kenar uzunluklarını inceleyelim.
- Üçgenin Analizi:
- Noktalı kağıtta, A noktasının P'ye göre 3 birim sola ve 3 birim aşağıda olduğunu, T noktasının P'ye göre 3 birim sağa ve 3 birim aşağıda olduğunu görebiliriz.
- PA kenarının uzunluğu: Pisagor teoremini kullanarak, $PA = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ birimdir.
- PT kenarının uzunluğu: $PT = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ birimdir.
- AT kenarının uzunluğu: A noktasından T noktasına yatayda 6 birim uzaklık vardır, yani $AT = 6$ birimdir.
- PA ve PT kenarlarının uzunlukları eşit olduğundan, PAT üçgeni bir ikizkenar üçgendir.
- Ayrıca, P köşesindeki açıyı inceleyelim. PA kenarının eğimi $\frac{3}{3} = 1$'dir. PT kenarının eğimi $\frac{-3}{3} = -1$'dir. İki doğrunun eğimleri çarpımı $1 \times (-1) = -1$ olduğundan, PA ve PT kenarları birbirine diktir. Bu durumda, P açısı $90^\circ$'dir.
- Dolayısıyla, PAT üçgeni bir ikizkenar dik üçgendir.
- İfade I'in Değerlendirilmesi: "P açısından çizilen açıortay aynı zamanda kenarortaydır."
- Bir ikizkenar üçgende, tepe açısından (eşit kenarlar arasındaki açıdan) çizilen açıortay, aynı zamanda tabana ait kenarortay ve yüksekliktir.
- PAT üçgeni ikizkenar bir üçgen olup, P açısı eşit kenarlar olan PA ve PT arasındaki açıdır.
- Bu nedenle, P açısından çizilen açıortay aynı zamanda AT kenarına ait kenarortaydır.
- İfade I doğrudur.
- İfade II'nin Değerlendirilmesi: "Açıortayları iç bölgesinde kesişir."
- Bir üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktasına "iç merkez" denir.
- Herhangi bir üçgende (dar açılı, dik açılı veya geniş açılı fark etmeksizin), iç açıortaylar her zaman üçgenin iç bölgesinde kesişir.
- İfade II doğrudur.
- İfade III'ün Değerlendirilmesi: "Yükseklikleri dış bölgesinde kesişir."
- Bir üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktasına "diklik merkezi" denir.
- Diklik merkezinin konumu üçgenin türüne göre değişir:
- Dar açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin iç bölgesindedir.
- Dik açılı üçgenlerde diklik merkezi, dik açının olduğu köşededir.
- Geniş açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin dış bölgesindedir.
- PAT üçgeni bir dik üçgen olduğu için (P açısı $90^\circ$), yüksekliklerinin kesişim noktası (diklik merkezi) dik açının olduğu köşe olan P noktasıdır.
- P noktası üçgenin bir köşesi olduğu için, "dış bölgesinde" ifadesi yanlıştır.
- İfade III yanlıştır.
Yukarıdaki değerlendirmelere göre, I ve II numaralı ifadeler doğru, III numaralı ifade yanlıştır.
Cevap C seçeneğidir.
