Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür problemler, günlük hayatta da karşımıza çıkabilecek, bir bütünü eşit parçalara ayırma mantığına dayanır. Soruyu adım adım çözelim ve mantığını kavrayalım.
- Problemi Anlayalım: Elimizde $48$ cm ve $60$ cm boyutlarında dikdörtgen şeklinde bir karton var. Bu kartonu, hiç artmayacak şekilde, yani hiç fire vermeden, eş kare parçalara ayırmak istiyoruz. Bizden istenen ise bu kare parçaların bir kenar uzunluğunun en fazla kaç cm olabileceğidir.
- Anahtar Kavramı Belirleyelim: Kare parçaların kenar uzunluğu, hem $48$ cm'lik kenarı hem de $60$ cm'lik kenarı tam bölmelidir. Çünkü eğer tam bölmezse, kartonda artan kısımlar olur ve bu da istenmeyen bir durumdur. Ayrıca, karelerin kenar uzunluğunun "en fazla" olmasını istediğimiz için, $48$ ve $60$ sayılarının en büyük ortak bölenini (EBOB veya GCD) bulmamız gerekir.
- EBOB'u Bulalım (En Büyük Ortak Bölen): EBOB'u bulmak için sayıları asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanalım. Bu yöntem, büyük sayılar için oldukça etkilidir.
- $48$ sayısının asal çarpanları:
- $48 \div 2 = 24$
- $24 \div 2 = 12$
- $12 \div 2 = 6$
- $6 \div 2 = 3$
- $3 \div 3 = 1$
- Yani, $48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1$
- $60$ sayısının asal çarpanları:
- $60 \div 2 = 30$
- $30 \div 2 = 15$
- $15 \div 3 = 5$
- $5 \div 5 = 1$
- Yani, $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
- Ortak Asal Çarpanları ve En Küçük Üslerini Seçelim: EBOB'u bulmak için, her iki sayının asal çarpanlarında ortak olanları ve bu ortak asal çarpanların en küçük üslü olanlarını seçip çarparız.
- Ortak asal çarpanlar $2$ ve $3$'tür.
- $2$ için en küçük üs $2^2$ (çünkü $48$'de $2^4$, $60$'ta $2^2$ var).
- $3$ için en küçük üs $3^1$ (çünkü her ikisinde de $3^1$ var).
- $5$ ortak bir çarpan değildir, bu yüzden EBOB'a dahil edilmez.
- EBOB Hesaplaması:
- EBOB$(48, 60) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$
- Sonuç: Bulduğumuz $12$ sayısı, kare parçaların bir kenar uzunluğunun en fazla kaç cm olabileceğini gösterir. Yani, $12$ cm kenarlı kareler kesersek, hem $48$ cm'lik kenardan $48 \div 12 = 4$ tane, hem de $60$ cm'lik kenardan $60 \div 12 = 5$ tane kare elde ederiz ve hiç karton artmaz.
Cevap D seçeneğidir.
