Aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiyon belirtir?
A) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{x-2}$Fonksiyon olmanın temel kuralını hatırlayalım: Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesindeki her bir elemanın değer kümesinde yalnızca bir karşılığı olmalıdır. Şimdi seçenekleri bu kurala göre inceleyelim:
Bu bağıntıda, $x = 2$ olduğunda payda sıfır olur ve fonksiyon tanımsız hale gelir. Yani, tanım kümesindeki her elemanın bir karşılığı yoktur. Bu nedenle, bu bir fonksiyon belirtmez.
Bu bağıntıda, $x = 0$ olduğunda $f(0) = \sqrt{-1}$ olur. Ancak $\sqrt{-1}$ bir reel sayı değildir. Tanım kümesi doğal sayılar ($\mathbb{N}$) ve değer kümesi tam sayılar ($\mathbb{Z}$) olmasına rağmen, bazı doğal sayıların tam sayılarda bir karşılığı yoktur. Örneğin $x=2$ için $f(2) = \sqrt{1} = 1$ bir tam sayıdır. Ancak $x=3$ için $f(3) = \sqrt{2}$ bir tam sayı değildir. Bu nedenle, bu bir fonksiyon belirtmez.
Bu bağıntıda, $x$ bir tam sayı olduğunda, $x+1$ de bir tam sayıdır. Ancak, $x+1$ her zaman 2'ye tam bölünmeyebilir. Örneğin, $x = 1$ olduğunda $f(1) = \frac{1+1}{2} = 1$ bir tam sayıdır. Fakat $x = 2$ olduğunda $f(2) = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}$ bir tam sayı değildir. Değer kümesi tam sayılar ($\mathbb{Z}$) olduğu için, bazı tam sayıların tam sayılarda bir karşılığı yoktur. Bu nedenle, bu bir fonksiyon belirtmez.
Bu bağıntıda, $x$ herhangi bir reel sayı olduğunda, $x^2$ de bir reel sayıdır ve $x^2 + 1$ de bir reel sayıdır. Ayrıca, her $x$ değeri için yalnızca bir $x^2 + 1$ değeri vardır. Yani, tanım kümesindeki her reel sayının değer kümesinde yalnızca bir karşılığı vardır. Bu nedenle, bu bir fonksiyon belirtir.
Bu bağıntı bir çember denklemidir. Fonksiyon olabilmesi için, her $x$ değerine karşılık yalnızca bir $y$ değeri olmalıdır. Ancak, örneğin $x = 0$ olduğunda $y^2 = 4$ olur ve buradan $y = 2$ veya $y = -2$ elde ederiz. Yani, bir $x$ değerine karşılık birden fazla $y$ değeri vardır. Bu nedenle, bu bir fonksiyon belirtmez.
Cevap D seçeneğidir.
