Kenar uzunlukları $120$ cm ve $150$ cm olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına ve köşelerine de gelecek şekilde eşit aralıklarla fidan dikilecektir. En az sayıda fidan dikmek için iki fidan arası mesafe kaç cm olmalıdır?
A) 10Bu problemde, dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına eşit aralıklarla ve en az sayıda fidan dikmek istiyoruz. "En az sayıda fidan dikmek" ifadesi, iki fidan arasındaki mesafenin mümkün olduğunca büyük olması gerektiği anlamına gelir.
1. Adım: Problemi Anlama ve Amacı Belirleme
Bahçenin kenar uzunlukları $120$ cm ve $150$ cm'dir. Fidanlar eşit aralıklarla ve köşelere de gelecek şekilde dikilecektir. Bu durum, fidanlar arasındaki mesafenin hem $120$ cm'lik kenarı hem de $150$ cm'lik kenarı tam bölmesi gerektiği anlamına gelir. Eğer mesafe kenar uzunluklarını tam bölmezse, köşelerde fidanlar denk gelmez veya aralıklar eşit olmaz.
En az sayıda fidan dikmek istediğimiz için, fidanlar arasındaki mesafeyi en büyük seçmeliyiz. Bu da bizi matematiksel olarak En Büyük Ortak Bölen (EBOB) kavramına götürür. Yani, $120$ ve $150$ sayılarının EBOB'unu bulmalıyız.
2. Adım: Kenar Uzunluklarının EBOB'unu Bulma
Fidanlar arası mesafe, $120$ cm ve $150$ cm'nin En Büyük Ortak Böleni (EBOB) olmalıdır. EBOB'u bulmak için asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanalım:
$120$'nin asal çarpanları:
$120 = 2 \times 60$
$60 = 2 \times 30$
$30 = 2 \times 15$
$15 = 3 \times 5$
Yani, $120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$ olarak yazılır.
$150$'nin asal çarpanları:
$150 = 2 \times 75$
$75 = 3 \times 25$
$25 = 5 \times 5$
Yani, $150 = 2^1 \times 3^1 \times 5^2$ olarak yazılır.
Şimdi, her iki sayının ortak asal çarpanlarını ve bu çarpanların en küçük üslerini alarak EBOB'u bulalım:
Ortak asal çarpanlar $2$, $3$ ve $5$'tir.
$2$ çarpanının en küçük üssü $2^1$ (çünkü $120$'de $2^3$, $150$'de $2^1$ var).
$3$ çarpanının en küçük üssü $3^1$ (çünkü $120$'de $3^1$, $150$'de $3^1$ var).
$5$ çarpanının en küçük üssü $5^1$ (çünkü $120$'de $5^1$, $150$'de $5^2$ var).
Bu durumda, EBOB($120$, $150$) $= 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30$ cm olur.
3. Adım: Sonucu Yorumlama
Bulduğumuz $30$ cm değeri, iki fidan arası mesafenin en büyük olabileceği değeri gösterir. Bu mesafeyle dikim yapıldığında, hem $120$ cm'lik kenara ($120 \div 30 = 4$ aralık) hem de $150$ cm'lik kenara ($150 \div 30 = 5$ aralık) eşit aralıklarla fidan dikilebilir ve köşelerde de fidanlar denk gelir. Böylece en az sayıda fidan kullanılmış olur.
Bu nedenle, iki fidan arası mesafe $30$ cm olmalıdır.
Cevap C seçeneğidir.
