Bu tür ifadeleri sadeleştirirken genellikle ilk adım, kesirleri ortak bir paydada birleştirmektir. Haydi adım adım ilerleyelim:
- Verilen ifade $ \frac{\sin x}{1 + \cos x} + \frac{1 + \cos x}{\sin x} $ şeklindedir. Bu iki kesri toplamak için ortak payda bulmamız gerekir. Ortak payda, paydaların çarpımı olan $ (1 + \cos x)(\sin x) $ olacaktır.
- İlk kesri $ \sin x $ ile genişletelim:
$ \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{\sin x \cdot \sin x}{(1 + \cos x) \cdot \sin x} = \frac{\sin^2 x}{(1 + \cos x)\sin x} $
- İkinci kesri $ (1 + \cos x) $ ile genişletelim:
$ \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \frac{(1 + \cos x) \cdot (1 + \cos x)}{\sin x \cdot (1 + \cos x)} = \frac{(1 + \cos x)^2}{(1 + \cos x)\sin x} $
- Şimdi bu iki kesri toplayalım:
$ \frac{\sin^2 x}{(1 + \cos x)\sin x} + \frac{(1 + \cos x)^2}{(1 + \cos x)\sin x} = \frac{\sin^2 x + (1 + \cos x)^2}{(1 + \cos x)\sin x} $
- Pay kısmındaki $ (1 + \cos x)^2 $ ifadesini açalım. Hatırlayalım ki $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.
Buradan $ (1 + \cos x)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \cos x + (\cos x)^2 = 1 + 2\cos x + \cos^2 x $ elde ederiz.
- Şimdi pay kısmını yeniden yazalım:
$ \sin^2 x + (1 + 2\cos x + \cos^2 x) $
- Temel trigonometrik özdeşliklerden birini hatırlayalım: $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Bu özdeşliği pay kısmında kullanalım:
$ (\sin^2 x + \cos^2 x) + 1 + 2\cos x = 1 + 1 + 2\cos x = 2 + 2\cos x $
- Pay kısmını $ 2 $ ortak çarpan parantezine alalım:
$ 2 + 2\cos x = 2(1 + \cos x) $
- Şimdi tüm ifadeyi basitleştirilmiş pay ile tekrar yazalım:
$ \frac{2(1 + \cos x)}{(1 + \cos x)\sin x} $
- Pay ve paydada ortak olan $ (1 + \cos x) $ terimini sadeleştirelim (bu sadeleştirmeyi yapabilmek için $ 1 + \cos x \neq 0 $ olmalıdır):
$ \frac{2}{\sin x} $
- Son olarak, $ \frac{1}{\sin x} $ ifadesinin $ \csc x $ (kosekant x) olduğunu biliyoruz. O halde ifademiz:
$ 2 \cdot \frac{1}{\sin x} = 2\csc x $ olur.
Bu durumda, ifadenin en sade hali $ 2\csc x $ olarak bulunur.
Cevap E seçeneğidir.
