10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo test 1

$ 2023^{2023} $ sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Bu soruyu çözmek için modüler aritmetik kavramını kullanacağız. Modüler aritmetik, bir sayının belirli bir sayıya bölümünden kalanı bulmakla ilgilenir. Bu soruda, $2023^{2023}$ sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulmak istiyoruz.

• Adım 1: Tabanın 5 ile bölümünden kalanını bulalım.

  2023 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulmak için, 2023'ü 5'e bölebiliriz. $2023 = 5 \cdot 404 + 3$. Yani, 2023'ün 5 ile bölümünden kalan 3'tür. Matematiksel olarak, $2023 \equiv 3 \pmod{5}$ şeklinde ifade ederiz.

• Adım 2: Üssün periyodik davranışını inceleyelim.

  Şimdi, $3^n$ sayısının 5 ile bölümünden kalanlarının nasıl değiştiğine bakalım:

  • $3^1 \equiv 3 \pmod{5}$
  • $3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$
  • $3^3 \equiv 27 \equiv 2 \pmod{5}$
  • $3^4 \equiv 81 \equiv 1 \pmod{5}$
  • $3^5 \equiv 243 \equiv 3 \pmod{5}$

  Gördüğümüz gibi, kalanlar 4 adımda bir tekrar ediyor: 3, 4, 2, 1. Bu, kalanların periyodunun 4 olduğu anlamına gelir.

• Adım 3: Üssün 4 ile bölümünden kalanını bulalım.

  Üssümüz 2023. 2023'ün 4 ile bölümünden kalanı bulmak için, 2023'ü 4'e bölebiliriz. $2023 = 4 \cdot 505 + 3$. Yani, 2023'ün 4 ile bölümünden kalan 3'tür. Matematiksel olarak, $2023 \equiv 3 \pmod{4}$ şeklinde ifade ederiz.

• Adım 4: Sonucu bulalım.

  $2023 \equiv 3 \pmod{5}$ ve $2023 \equiv 3 \pmod{4}$ olduğundan, $2023^{2023} \equiv 3^{2023} \pmod{5}$'tir. Üssün 4 ile bölümünden kalan 3 olduğu için, $3^{2023} \equiv 3^3 \pmod{5}$'tir. $3^3 = 27$ ve $27 \equiv 2 \pmod{5}$ olduğundan, $2023^{2023} \equiv 2 \pmod{5}$'tir.

  Bu, $2023^{2023}$ sayısının 5 ile bölümünden kalanın 2 olduğu anlamına gelir.

Cevap C seçeneğidir.